制御工学 制御モデル
B. 制御対象のモデル化（Mathematical Modeling）
(1) なぜモデル化が必要か
制御工学では、制御対象（プラント）を数学モデルで表すことが出発点となる。
モデルがあると：
- ステップ応答・周波数応答を予測できる
- 安定性解析（極、ゲイン余裕・位相余裕）ができる
- PID や最適制御の設計が可能になる
- PLC・調節計・Simulink などで実験できる
B1. 微分方程式モデル（連続時間モデル）
(1) 一般的な LTI 系の表現
SISO（単一入出力）線形時不変システムは、n 次微分方程式で表される：
\[
a_n y^{(n)}(t) + a_{n-1} y^{(n-1)}(t) + \cdots + a_0 y(t)
=
b_m u^{(m)}(t) + \cdots + b_0 u(t)
\]
(2) 代表例
-
質量-ばね-ダンパ系：
\[
m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = u(t)
\]
-
RC 回路：
\[
C\frac{dv}{dt} + \frac{1}{R}v = \frac{1}{R}u
\]
-
一次遅れ系（温度制御など）：
\[
T\frac{dy}{dt} + y = Ku
\]
(3) 状態空間表現への変換（概要）
\[
\dot{x}=Ax+Bu \quad,\quad y=Cx+Du
\]
詳細は E章で扱う。
B2. ラプラス変換と伝達関数
(1) ラプラス変換の定義
\[
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}
=\int_0^\infty f(t)e^{-st} dt
\]
(2) 微分のラプラス変換
\[
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^-)
\]
(3) 伝達関数の定義
初期条件 0 とすると，
\[
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}
\]
(4) 一次遅れ系の例
\[
T\frac{dy}{dt}+y=Ku
\Rightarrow
G(s)=\frac{K}{Ts+1}
\]
(5) フィードバック系の基本式
\[
G_{cl}(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}
\]
B3. 離散化とサンプル値系（Digital Modeling）
(1) ZOH（ゼロ次ホールド）
PLC やマイコンでは、制御入力はサンプリングごとに一定値を保持する。
(2) 差分近似
-
前進差分：
\[
\dot{x}\approx\frac{x[k+1]-x[k]}{T_s}
\]
-
後退差分：
\[
\dot{x}\approx\frac{x[k]-x[k-1]}{T_s}
\]
-
Tustin（双一次）変換：
\[
s\approx \frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}
\]
(3) 離散状態空間モデル
\[
x[k+1]=A_d x[k]+B_d u[k]
\]
\[
y[k]=Cx[k]+Du[k]
\]
(4) サンプリング定理とエイリアシング
サンプリング周波数は
\[
f_s > 2 f_{\text{max}}
\]
を満たす必要がある。