制御工学 時間応答・周波数応答
C0. 時間応答・周波数応答の意義
制御対象を理解するためには
① 時間領域での応答（ステップ応答など）
と
② 周波数領域での応答（ボード線図など）
を両方調べることが不可欠である。
- 時間応答：過渡特性・整定時間・振動性を調べる
- 周波数応答：安定性・感度・ロバスト性を評価
C1. 極・零点（Poles & Zeros）
(1) 極（Pole）
伝達関数
\[
G(s)=\frac{N(s)}{D(s)}
\]
の分母 \(D(s)=0\) の解が極。
(2) 零点（Zero）
分子 \(N(s)=0\) の解が零点。
(3) 極配置と系の安定性
極が複素平面の左半平面にあれば安定：
\[
\mathrm{Re}(s_i)<0 \quad \text{for all } i.
\]
(4) 極と応答の関係
C2. 一次遅れ系の時間応答
伝達関数
\[
G(s)=\frac{K}{Ts+1}
\]
ステップ応答
入力を 1（単位ステップ）とすると出力は
\[
y(t) = K\left(1 - e^{-t/T}\right)
\]
特徴
- 時定数 \(T\) が大きいほど応答は遅い
- 63% 応答が時定数で決まる
C3. 二次系の時間応答
標準2次系
\[
G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}
\]
\(\omega_n\)：固有角周波数
\(\zeta\)：減衰係数
ステップ応答の特徴
- 立ち上がり時間
- オーバーシュート（行き過ぎ量）
- ピーク時間
- 整定時間
減衰係数による分類
- \(\zeta >1\) 過減衰（遅い）
- \(\zeta =1\) 臨界減衰（最速応答）
- \(0<\zeta<1\) 不足減衰（振動あり）
C4. 周波数応答の基礎
(1) 周波数応答とは
伝達関数を
\[
G(j\omega)
\]
に評価したときの振幅・位相の応答。
(2) 振幅と位相
- ゲイン：\(|G(j\omega)|\)
- 位相：\(\angle G(j\omega)\)
(3) 高周波・低周波の性質
周波数が高くなると多くのプラントはゲインが低下する。
低周波ではゲインが一定になることが多い。
C5. ボード線図（Bode Diagram）
(1) 定義
振幅と位相を対数周波数で描いた図。
制御工学で最も使われる周波数応答の表現方法。
(2) 特徴
- 周波数帯域全体を俯瞰できる
- フィードバック安定性を判断しやすい
- 極・零点の影響が直感的に見える
(3) ゲイン交差周波数・位相交差周波数
安定性指標の計算に使用する。
C6. ナイキスト線図（Nyquist Plot）
(1) ナイキスト安定判別法
開ループ伝達関数 \(L(s)=G(s)H(s)\) を
複素平面上にプロットして安定性を判断する手法。
(2) 基本判定
原点 -1 点を何周回するかで安定か不安定かが判断できる。
C7. ゲイン余裕・位相余裕
(1) ゲイン余裕（GM）
系が不安定になる直前までどれだけゲインを増やせるか。
(2) 位相余裕（PM）
系が不安定になる直前までどれだけ位相遅れを許容できるか。
(3) 意義
C8. 帯域幅（Bandwidth）
(1) 定義
ゲインが -3 dB に下がる周波数を帯域幅と呼ぶ。
(2) 意味
- 帯域幅が広いほど応答が速い
- しかしノイズにも敏感になる