PID 制御は世界で最も広く使われている制御方式であり、 比例（P）、積分（I）、微分（D）を用いて誤差を修正する。
\[ u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau)\,d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt} \]
ここで \(e(t)=r(t)-y(t)\)：目標値と出力の誤差 \(u(t)\)：操作量（ヒータ出力、モータ電圧 など）
\[ u(t)=K_p e(t) \]
増幅するだけなので、目標値に対する定常偏差は必ず残る。
\[ u(t)=K_i \int_0^t e(\tau)\,d\tau \]
\[ u(t)=K_d \frac{de(t)}{dt} \]
\[ D(s)=\frac{K_d s}{\frac{1}{N}s+1} \] （ハイカットフィルタ N を入れてノイズを抑える）
伝達関数形式では：
\[ G_{PID}(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s \]
不完全微分を用いると：
\[ G_{PID}(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_d\frac{Ns}{s+N} \]
・臨界ゲイン \(K_u\) と臨界周期 \(T_u\) を用いる古典的手法 ・高速だが乱暴で、ロバスト性は低い
一次遅れ＋むだ時間（FOPDT）モデルにフィットして決定する。
安定余裕（PM, GM）を目標にしてゲインを調整する。
後退差分（あなたの GPT にも採用されているもの）：
\[ \frac{de}{dt} \approx \frac{e[k]-e[k-1]}{T_s} \]
積分項： \[ \int e dt \approx T_s \sum e[k] \]
増分形式： \[ u[k]=u[k-1] + K_p(e[k]-e[k-1]) + K_i T_s e[k] + K_d\frac{e[k]-2e[k-1]+e[k-2]}{T_s} \]