制御工学　システム同定

K. システム同定（System Identification）

システム同定とは、入力と出力の観測データから制御対象（プラント）の数学モデルを推定する手法の総称である。

伝達関数モデル \(G(s), G(z)\)
状態空間モデル \(\dot{x}=Ax+Bu,\, y=Cx+Du\)
非線形モデル（NARX, Hammerstein–Wiener など）
機械学習モデル（ニューラルネット, ガウス過程など）

「モデルがあれば制御は半分終わっている」と言われるほど、制御系設計において重要なステップである。

K1. 非パラメトリック同定（Non-parametric Identification）

(1) ステップ応答・インパルス応答

入力としてステップ信号・パルス信号を与え、出力の時間応答を記録
そこから時定数・ゲイン・むだ時間などを読み取る

例：一次遅れ＋むだ時間モデル（FOPDT） \[ G(s) = \frac{K}{T s + 1} e^{-Ls} \] ステップ応答の立ち上がりと遅れから、\(K, T, L\) を推定できる。

(2) 周波数応答同定

正弦波をいろいろな周波数で入力し、定常状態の振幅・位相を測定する
ボード線図（ゲイン・位相特性）を「実験的に」取得するイメージ

測定された周波数応答 \[ \{ \omega_i,\ |G(j\omega_i)|,\ \angle G(j\omega_i) \} \] から、低次の伝達関数をフィッティングすることも多い。

K2. 線形パラメトリックモデル

(1) ARX モデル

離散時間モデルの基本形： \[ y[k] + a_1 y[k-1] + \dots + a_n y[k-n] = b_1 u[k-1] + \dots + b_m u[k-m] + e[k] \] e[k]：モデル化誤差（白色雑音と仮定することが多い）

z 変換すると \[ G(z)=\frac{B(z^{-1})}{A(z^{-1})} \]

(2) ARMAX / OE / Box–Jenkins（BJ）

ARMAX：ノイズモデルにも ARMA を導入
OE（Output Error）：ノイズを出力側にまとめるモデル
BJ モデル：プラントとノイズを別々の伝達関数で表現

ARX は実装・推定が簡単で、 ARMAX / OE / BJ は「より現実に近いノイズモデル」を扱える。

(3) パラメータ推定（最小二乗法）

ARX の場合、未知パラメータベクトルを \(\theta\)、観測を \(\phi[k]\) とすると \[ y[k] = \phi[k]^{\mathrm T} \theta + e[k] \] 多数のサンプルから最小二乗推定： \[ \hat{\theta} = ( \Phi^{\mathrm T} \Phi )^{-1} \Phi^{\mathrm T} y \]

K3. 連続時間モデルと離散時間モデル

(1) 連続時間モデル

微分方程式・伝達関数 \(G(s)\)
物理法則（ニュートン、キルヒホッフなど）から導かれることが多い

(2) 離散時間モデル

サンプリングされたデータから直接推定しやすい
制御器がディジタルなら、そのまま設計に使える

(3) 行き来の方法

連続 → 離散：ZOH、Tustin などで離散化
離散 → 連続：同定した \(G(z)\) を連続時間にフィットし直す

K4. サブスペース同定（Subspace Identification）

状態空間モデルを直接データから推定する手法群。 N4SID, MOESP, CVA などの有名なアルゴリズムがある。

(1) モデル構造

\[ x[k+1]=A x[k]+B u[k] + w[k] \] \[ y[k]=C x[k]+D u[k] + v[k] \]

(2) 特徴

行列 A, B, C, D を SVD などの線形代数で求める
多入力多出力（MIMO）でも扱いやすい
長いデータ列があれば比較的安定して推定できる

K5. 非線形モデル同定（NARX など）

(1) NARX モデル

非線形自己回帰＋外生入力モデル： \[ y[k] = f\bigl( y[k-1],\dots,y[k-n_y], u[k-1],\dots,u[k-n_u] \bigr) + e[k] \] f を多項式・ニューラルネットなどで表現する。

(2) Hammerstein モデル

「入力に非線形 → 線形ダイナミクス」 \[ v[k] = f(u[k]), \quad y[k] = G(q^{-1}) v[k] \]

(3) Wiener モデル

「線形ダイナミクス → 出力に非線形」 \[ x[k] = G(q^{-1}) u[k], \quad y[k] = f(x[k]) \]

(4) Hammerstein–Wiener モデル

入力側と出力側両方に非線形を持つ。

K6. 機械学習ベースのシステム同定

近年は、機械学習・深層学習を用いたデータ駆動型のモデル構築が広く研究・応用されている。

(1) ブラックボックス回帰モデル

多層パーセプトロン（MLP）
サポートベクタ回帰（SVR）
ガウス過程回帰（GPR）

入力ベクトル \[ \xi[k] = \bigl( y[k-1],\dots,y[k-n_y], u[k-1],\dots,u[k-n_u] \bigr) \] から出力 \(y[k]\) を予測する学習問題として扱う。

(2) 時系列モデル：RNN, LSTM, GRU

内部状態をもつニューラルネットでダイナミクスを表現： \[ h[k+1] = F(h[k], u[k]) \] \[ \hat{y}[k] = G(h[k]) \] これにより、状態空間モデルに相当する「ニューラル状態空間」を学習できる。

(3) Koopman オペレータ / Deep Koopman

非線形ダイナミクスを「高次元の線形ダイナミクス」とみなす枠組み。深層学習を用いて、非線形系を線形状態空間モデルに埋め込む試みもある。

(4) SINDy（Sparse Identification of Nonlinear Dynamics）

候補となる基底関数（多項式・三角関数など）から、スパース回帰で「本当に必要な項」だけを選び出し、コンパクトな微分方程式モデルを自動抽出する手法。

(5) データ駆動制御との接続

同定した ML モデルをそのまま MPC に埋め込む（NN-MPC 等）
モデルを明示的に作らず、強化学習で直接制御則を学習する方法もある

K7. 実務的な同定プロセス

目的の整理（何のためのモデルか？：制御設計、シミュレーション、予測保全など）
入出力データの取得（実験計画：ステップ、PRBS、サインスイープなど）
前処理（ノイズ除去、オフセット補正、サンプリング周期確認）
モデル構造の選択（ARX, 状態空間, NARX, NN など）
パラメータ推定（最小二乗、最大尤度、勾配法、深層学習）
モデル検証（別データでシミュレーションし、誤差評価）
必要に応じてモデル簡略化（次数削減、線形近似など）
制御器設計（PID, LQR, MPC, ロバスト制御など）に接続

「モデルの目的」と「利用する制御手法」によって、必要なモデルの精度や複雑さは大きく変わる。 やりすぎて難しすぎるモデルにしないのも重要な設計判断である。

参考URL

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