制御対象や信号伝送では，入力が変化してから出力に反映されるまでに
一定時間だけ遅れが生じることがある。この遅れをむだ時間 \(T\) と呼ぶ。
時間領域で関数 \(f(t)\) を右に \(T\) だけ平行移動（すなわち \(T\) だけ遅延）した信号は
\(f(t-T)\) と書けるが，片側ラプラス変換の定義域 \(t\ge 0\) を考慮すると，
\(t <T\) の範囲では信号は現れない。そこで単位ステップ関数\(u(t)\)を用いて
\[
f(t-T)u(t-T)
\]
と表すのが自然である。
この関数をラプラス変換すると
\[
\mathcal{L}\{f(t-T)u(t-T)\}
=\int_{0}^{\infty} f(t-T)u(t-T)e^{-st}\,dt
\]
ここで \(u(t-T)=0\ (t<T),\ u(t-T)=1\ (t\ge T)\) であるため，積分区間は
\[
\int_{0}^{\infty} f(t-T)u(t-T)e^{-st}\,dt
= \int_{T}^{\infty} ( ① )
\]
変数変換 \(\tau=t-T\)（すなわち \(t=\tau+T\)）を行うと
\[
\int_{T}^{\infty} ( ① )
=\int_{0}^{\infty} f(\tau)e^{-s(\tau+T)}\,d\tau
\]
指数関数を分離すると
\[
\int_{0}^{\infty} f(\tau)e^{-s(\tau+T)}\,d\tau
=（ ② ）\int_{0}^{\infty} f(\tau)e^{-s\tau}\,d\tau
\]
右辺の積分は \(F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}\) であるから，
結局
\[
\mathcal{L}\{f(t-T)u(t-T)\}=（ ② ）F(s)
\qquad (T>0)
\]
すなわち，時間領域でのむだ時間 \(T\) はラプラス領域では因子
\[
（ ② ）
\]
として表される。
制御対象や信号伝送では，入力が変化してから出力に反映されるまでに
一定時間だけ遅れが生じることがある。この遅れをむだ時間 \(T\) と呼ぶ。
時間領域で関数 \(f(t)\) を右に \(T\) だけ平行移動（すなわち \(T\) だけ遅延）した信号は
\(f(t-T)\) と書けるが，片側ラプラス変換の定義域 \(t\ge 0\) を考慮すると，
\(t <T\) の範囲では信号は現れない。そこで単位ステップ関数\(u(t)\)を用いて
\[
f(t-T)u(t-T)
\]
と表すのが自然である。
この関数をラプラス変換すると
\[
\mathcal{L}\{f(t-T)u(t-T)\}
=\int_{0}^{\infty} f(t-T)u(t-T)e^{-st}\,dt
\]
ここで \(u(t-T)=0\ (t<T),\ u(t-T)=1\ (t\ge T)\) であるため，積分区間は
\[
\int_{0}^{\infty} f(t-T)u(t-T)e^{-st}\,dt
= \int_{T}^{\infty} ( ① f(t-T)e^{-st}\,dt )
\]
変数変換 \(\tau=t-T\)（すなわち \(t=\tau+T\)）を行うと
\[
\int_{T}^{\infty} (① f(t-T)e^{-st}\,dt)
=\int_{0}^{\infty} f(\tau)e^{-s(\tau+T)}\,d\tau
\]
指数関数を分離すると
\[
\int_{0}^{\infty} f(\tau)e^{-s(\tau+T)}\,d\tau
=（ ②e^{-sT} ）\int_{0}^{\infty} f(\tau)e^{-s\tau}\,d\tau
\]
右辺の積分は \(F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}\) であるから，
結局
\[
\mathcal{L}\{f(t-T)u(t-T)\}=（ ②e^{-sT} ）F(s)
\qquad (T>0)
\]
すなわち，時間領域でのむだ時間 \(T\) はラプラス領域では因子
\[
（ ②e^{-sT} ）
\]
として表される。
むだ時間要素 \(e^{-Ls}\) は指数関数であり，そのままでは有理関数でないため，
ボード線図やナイキスト線図による解析が行いにくい。
そこで原点近傍での振る舞いが一致するように，有理関数で近似する方法として
パデ近似を用いる。
指数関数のマクローリン展開は
\[
e^{-Ls}=1-Ls+\frac{L^2}{2}s^2-\frac{L^3}{6}s^3+\cdots
\]
また次の基本展開式を用いる：
\[
(1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+\cdots \qquad (|x|<1) \]
1次のパデ近似では，次の形の有理関数を仮定する：
\[
e^{-Ls}\approx \frac{1+as}{1+bs}
\]
分母を \((1+bs)^{-1}\) として展開すると
\[
\frac{1+as}{1+bs}=(1+as)(1+bs)^{-1}
=(1+as)\left( ① \right)
\]
2次の項まで整理すると
\[
\frac{1+as}{1+bs}
=1+\left( ② \right)s+ \left( ③ \right)s^2+\cdots
\]
これを指数関数の展開
\[
e^{-Ls}=1-Ls+\frac{L^2}{2}s^2+\cdots
\]
と係数比較すると，
\[
a-b=\left( ④ \right), \qquad b^2-ab=\left( ⑤ \right)
\]
よって
\[
a=\left( ⑥ \right), \qquad b=\left( ⑦ \right)
\]
したがって，1次パデ近似は
\[
e^{-Ls}\approx \left( ⑧ \right)
\]
むだ時間要素 \(e^{-Ls}\) は指数関数であり，そのままでは有理関数でないため，
ボード線図やナイキスト線図による解析が行いにくい。
そこで原点近傍での振る舞いが一致するように，有理関数で近似する方法として
パデ近似を用いる。
指数関数のマクローリン展開は
\[
e^{-Ls}=1-Ls+\frac{L^2}{2}s^2-\frac{L^3}{6}s^3+\cdots
\]
また次の基本展開式を用いる：
\[
(1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+\cdots \qquad (|x|<1) \]
1次のパデ近似では，次の形の有理関数を仮定する：
\[
e^{-Ls}\approx \frac{1+as}{1+bs}
\]
分母を \((1+bs)^{-1}\) として展開すると
\[
\frac{1+as}{1+bs}=(1+as)(1+bs)^{-1}
=(1+as)\left( ① 1-bs+b^2s^2-\cdots \right)
\]
2次の項まで整理すると
\[
\frac{1+as}{1+bs}
=1+\left( ②a-b \right)s+ \left( ③b^2-ab \right)s^2+\cdots
\]
これを指数関数の展開
\[
e^{-Ls}=1-Ls+\frac{L^2}{2}s^2+\cdots
\]
と係数比較すると，
\[
a-b=\left( ④-L \right), \qquad b^2-ab=\left( ⑤\frac{L^2}{2} \right)
\]
よって
\[
a=\left( ⑥ -\frac{L}{2} \right), \qquad b=\left( ⑦\frac{L}{2} \right)
\]
したがって，1次パデ近似は
\[
e^{-Ls}\approx \left( ⑧\frac{1-\frac{L}{2}s}{1+\frac{L}{2}s} \right)
\]
2次パデ近似では，むだ時間要素 \(e^{-Ls}\) を次の有理関数で近似する：
\[
e^{-Ls}\approx \frac{1+a_1s+a_2s^2}{1+b_1s+b_2s^2}
\]
指数関数のマクローリン展開（4次まで）：
\[
e^{-Ls}=1-Ls+\frac{L^2}{2}s^2-\frac{L^3}{6}s^3+\frac{L^4}{24}s^4+\cdots
\]
分母の逆数を \(X=b_1s+b_2s^2\) とおいて
\((1+X)^{-1}=1-X+X^2-X^3+\cdots\) を用いる。
3次の項まで必要なので，
\[
(1+b_1s+b_2s^2)^{-1}
=1-（ ① ）+（ ② ）-（ ③ ）+\cdots
\]
ここで
\[
X=b_1s+b_2s^2,\quad
X^2=b_1^2s^2+2b_1b_2s^3+\cdots,\quad
X^3=b_1^3s^3+\cdots
\]
より，3次の項まで整理すると
\[
(1+b_1s+b_2s^2)^{-1}
=1- b_1s+（ ④ ）s^2+（ ⑤ ）s^3+\cdots
\]
したがって
\[
\frac{1+a_1s+a_2s^2}{1+b_1s+b_2s^2}
=(1+a_1s+a_2s^2)\left[1- b_1s+（ ④ ）s^2+（ ⑤ ）s^3+\cdots\right]
\]
これを 3次の項まで掛け算して
\[
\frac{1+a_1s+a_2s^2}{1+b_1s+b_2s^2}
=1+（ ⑥ ）s+（ ⑦ ）s^2+（ ⑧ ）s^3+\cdots
\]
係数比較
\[
1+（ ⑥ ）s+（ ⑦ ）s^2+（ ⑧ ）s^3+\cdots
=
1-Ls+\frac{L^2}{2}s^2-\frac{L^3}{6}s^3+\cdots
\]
より
\[
（ ⑥ ）=-L,\quad
（ ⑦ ）=\frac{L^2}{2},\quad
（ ⑧ ）=-\frac{L^3}{6}
\]
この条件を満たす係数は
\[
a_1=（ ⑨ ）, \quad a_2=（ ⑩ ）, \quad
b_1=（ ⑪ ）, \quad b_2=（ ⑫ ）
\]
よって 2次パデ近似は
\[
e^{-Ls}\approx（ ⑬ ）
\]
2次パデ近似では，むだ時間要素 \(e^{-Ls}\) を次の有理関数で近似する：
\[
e^{-Ls}\approx \frac{1+a_1s+a_2s^2}{1+b_1s+b_2s^2}
\]
指数関数のマクローリン展開（4次まで）：
\[
e^{-Ls}=1-Ls+\frac{L^2}{2}s^2-\frac{L^3}{6}s^3+\frac{L^4}{24}s^4+\cdots
\]
分母の逆数を \(X=b_1s+b_2s^2\) とおいて
\((1+X)^{-1}=1-X+X^2-X^3+\cdots\) を用いる。
3次の項まで必要なので，
\[
(1+b_1s+b_2s^2)^{-1}
=1-（ ① X ）+（ ② X^2 ）-（ ③ X^3 ）+\cdots
\]
ここで
\[
X=b_1s+b_2s^2,\quad
X^2=b_1^2s^2+2b_1b_2s^3+\cdots,\quad
X^3=b_1^3s^3+\cdots
\]
より，3次の項まで整理すると
\[
(1+b_1s+b_2s^2)^{-1}
=1- b_1s+（ ④ (b_1^2-b_2) ）s^2+（ ⑤ (2b_1b_2-b_1^3) ）s^3+\cdots
\]
したがって
\[
\frac{1+a_1s+a_2s^2}{1+b_1s+b_2s^2}
=(1+a_1s+a_2s^2)\left[1- b_1s+（ ④ (b_1^2-b_2) ）s^2+（ ⑤ (2b_1b_2-b_1^3) ）s^3+\cdots\right]
\]
これを 3次の項まで掛け算して
\[
\frac{1+a_1s+a_2s^2}{1+b_1s+b_2s^2}
=1+（ ⑥ (a_1-b_1) ）s+（ ⑦ (a_2-a_1b_1+b_1^2-b_2) ）s^2
\]
\[
\qquad\qquad\qquad\qquad
+（ ⑧ (a_1(b_1^2-b_2)-a_2b_1+2b_1b_2-b_1^3) ）s^3+\cdots
\]
係数比較
\[
1+（ ⑥ ）s+（ ⑦ ）s^2+（ ⑧ ）s^3+\cdots
=
1-Ls+\frac{L^2}{2}s^2-\frac{L^3}{6}s^3+\cdots
\]
より
\[
（ ⑥ ）=-L,\quad
（ ⑦ ）=\frac{L^2}{2},\quad
（ ⑧ ）=-\frac{L^3}{6}
\]
この条件を満たす係数は
\[
a_1=（ ⑨ -\frac{L}{2} ）, \quad a_2=（ ⑩ \frac{L^2}{12} ）, \quad
b_1=（ ⑪ \frac{L}{2} ）, \quad b_2=（ ⑫ \frac{L^2}{12} ）
\]
よって 2次パデ近似は
\[
e^{-Ls}\approx（ ⑬ \frac{1-\frac{L}{2}s+\frac{L^2}{12}s^2}{1+\frac{L}{2}s+\frac{L^2}{12}s^2} ）
\]