高校数学 数学Ⅰ 方程式と不等式
1. 文字式・単項式・多項式・整式
(1) 項・単項式・多項式
- 項：式を「＋」「−」で区切ったそれぞれの部分。
-
単項式：項が 1 つだけの式。
例：\(3x,\; -5ab^2,\; 7,\; x\) など。
-
多項式：2 項以上の単項式の和。
例：\(x^2+5x-6,\; 3x^3-2x+1\) など。
- 整式：単項式の和で表される式（多項式を含む）。
(2) 係数・文字の部分・定数項
-
係数：単項式において文字を除いた数の部分。
例：\(-4x^2y\) の係数は \(-4\)。
-
文字の部分：文字とその指数の部分。
例：\(-4x^2y\) の文字の部分は \(x^2y\)。
-
定数項：文字を含まない項。
例：\(3x^2-5x+7\) の定数項は \(7\)。
2. 次数・降べきの順・昇べきの順
(1) 単項式の次数
単項式において，文字の指数の和をその単項式の次数という。
- \(3x^2\) の次数：\(2\)
- \(-5ab^2\) の次数：\(1+2=3\)
- 定数 \(7\) の次数：\(0\)
(2) 多項式の次数
多項式の各項の次数のうち，最も大きいものを多項式の次数という。
- \(x^3+2x^2-5\) の次数：\(3\)
- \(4x^2y+3xy^2-1\) の次数：\(3\)
(3) 降べきの順・昇べきの順
-
降べきの順：
次数の高い項から低い項へ並べる。
例：\(x^3+2x^2+5x+7\)。
-
昇べきの順：
次数の低い項から高い項へ並べる。
例：\(7+5x+2x^2+x^3\)。
- 答案では，指定がなくても降べき順に整理しておくと見やすい。
3. 指数法則と整式の計算
(1) 指数法則
- \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\)
- \(\displaystyle \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\quad (x\neq 0)\)
- \((x^a)^b = x^{ab}\)
- \((xy)^a = x^a y^a\)
(2) 整式の加法・減法
- 同類項：文字の種類と指数が全く同じ項。
-
加法・減法では同類項どうしをまとめる。
例：\(3x^2+5x-2x^2+7 = (3x^2-2x^2)+5x+7 = x^2+5x+7\)。
(3) 整式の乗法
- 分配法則を使って，全ての項どうしを掛け合わせる。
- その後，同類項をまとめて整理する。
4. 展開の公式（乗法公式）
(1) 基本の 3 つ
- \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
- \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
(2) 二項式どうしの積
- \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)
- \((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd\)
(3) 三項式の 2 乗
- \((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)
(4) 立方の公式
- \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
- \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
5. 因数分解の公式（充実版）
(1) 共通因数でくくる
各項に共通する因数を取り出す。
- \(ab+ac = a(b+c)\)
- \(6x^3-9x^2 = 3x^2(2x-3)\)
(2) 平方の公式の逆（完全平方）
- \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\)
- \(a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\)
例：
\[
x^2+6x+9 = x^2+2\cdot 3x+3^2 = (x+3)^2
\]
\[
x^2-10x+25 = x^2-2\cdot 5x+5^2 = (x-5)^2
\]
(3) 平方差の公式
例：
\[
x^2-9 = x^2-3^2 = (x+3)(x-3)
\]
\[
4x^2-25 = (2x)^2-5^2 = (2x+5)(2x-5)
\]
(4) 一般の二次式 \(ax^2+bx+c\)
1）\(a=1\) のとき（\(x^2+px+q\) 形）
\[
x^2+px+q = (x+\alpha)(x+\beta)
\]
を満たす \(\alpha,\beta\) を探す。
- \(\alpha+\beta = p\)
- \(\alpha\beta = q\)
例：
\[
x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)
\]
（\(2+3=5,\;2\cdot 3=6\)）
2）\(a\neq 1\) のとき（\(ax^2+bx+c\)）
方法の一例：
① \(ac\) を作り，積が \(ac\)，和が \(b\) となる 2 数を探す。
② 中項 \(bx\) を 2 つに分けて 組み合わせてくくる。
例：
\[
2x^2+7x+3
\]
で \(ac=2\cdot 3=6\)。
積が 6，和が 7 になるのは \(1,6\)。
\[
2x^2+x+6x+3 = (2x^2+x)+(6x+3)
\]
\[
= x(2x+1)+3(2x+1) = (x+3)(2x+1)
\]
(5) 因数分解（組分け：たすきがけ）
\(ax^2+bx+c\) を \((px+q)(rx+s)\) の形に分解する方法（たすきがけ）もよく使う。
(6) 立方の公式の逆
- \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
- \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)
例：
\[
x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)
\]
\[
8x^3+1 = (2x)^3+1^3 = (2x+1)(4x^2-2x+1)
\]
(7) 置き換えによる因数分解（発展）
\(x^4-5x^2+4\) のような式は，\(y=x^2\) とおくと
\[
y^2-5y+4
\]
となり，
\[
y^2-5y+4 = (y-1)(y-4)
\]
よって
\[
x^4-5x^2+4 = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
\]
6. 方程式の基本と同値変形
(1) 方程式とは
未知数を含む等式で，成り立つ未知数の値（解）を求める問題。
(2) 同値変形
- 両辺に同じ数を足す・引く
- 両辺に同じ 0 でない数をかける・割る
- 展開・因数分解で形を変える
(3) 検算
得られた解を元の方程式に代入して，成り立つか必ず確認する。
7. 一次方程式
(1) 一般形と解
\[
ax + b = 0 \quad (a\neq 0)
\]
の解は
\[
x = -\frac{b}{a}
\]
(2) 文章題への応用
8. 二次方程式と解の公式・判別式
(1) 標準形
\[
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a\neq 0)
\]
(2) 解の公式
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
(3) 判別式
\[
D = b^2 - 4ac
\]
- \(D > 0\)：異なる 2 つの実数解
- \(D = 0\)：1 つの実数解（重解）
- \(D < 0\)：実数解をもたない
9. 二次方程式の解と係数の関係
\(ax^2+bx+c=0\) の 2 つの解を \(x_1, x_2\) とすると
- \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\)
- \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\)
これを利用して条件を満たす解を持つときの係数を求める問題などが出題される。
10. 不等式の基本と同値変形
(1) 基本ルール
- 両辺に同じ数を足す・引く → 不等号そのまま。
- 両辺に同じ正の数をかける・割る → 不等号そのまま。
-
両辺に同じ負の数をかける・割るとき → 不等号の向きを反転。
例：
\[
-2x > 6 \quad \Rightarrow \quad x < -3
\]
(2) 範囲（区間）の表し方
- \(a < x < b\)：開区間 \((a, b)\)
- \(a \le x \le b\)：閉区間 \([a, b]\)
11. 一次不等式
形は一次方程式と同じだが，不等号が入る。
例：
\[
3x - 5 \le 7
\]
を解くと
\[
3x \le 12 \quad \Rightarrow \quad x \le 4
\]
解は範囲で表す。\(\;x \le 4\) など。
12. 二次不等式
(1) 解き方の基本方針
- 対応する二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解を求める。
- 放物線 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフの形（上に凸/下に凸）と x 軸との位置関係を考える。
- 「0 より大きい」「0 以下」などの条件に合う x の範囲を読む。
(2) 典型例
解を \(x_1 < x_2\)，係数 \(a\) とすると，
-
\(a>0\) のとき：
-
\(ax^2+bx+c > 0\)
→ \(x < x_1\) または \(x > x_2\)
-
\(ax^2+bx+c < 0\)
→ \(x_1 < x < x_2\)
- \(a<0\) のときは「向き」が逆になる。
13. 絶対値を含む方程式・不等式
(1) 絶対値の定義
\[
|x| =
\begin{cases}
x & (x \ge 0) \\
-x & (x < 0)
\end{cases}
\]
(2) 絶対値方程式
\[
|x-a| = b \quad (b \ge 0)
\]
の解は
\[
x = a + b,\quad x = a - b
\]
(3) 絶対値不等式
\[
|x-a| < b \quad (b>0)
\]
のとき
\[
a - b < x < a + b
\]
\[
|x-a| \ge b
\]
のとき
\[
x \le a - b \quad \text{または} \quad x \ge a + b
\]
14. 方程式と不等式の典型問題の型
- 文章題を方程式・不等式に翻訳して解く（割合・濃度・速さ）。
- 因数分解と二次方程式を組み合わせた問題。
- 判別式を用いて解の個数・範囲を求める問題。
- 二次不等式をグラフの形から考える問題。
- 絶対値の式を場合分けして処理する問題。