高校数学Iでは、主に \[ y = ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0) \] を扱う。
x が正負に大きくなると、\(|x|\) の大きいところでは \(ax^2\) の効果が支配的になる。
一般形 \[ y = ax^2 + bx + c \] を平方完成すると \[ y = a(x - p)^2 + q \] と書ける（ただし \(p=-\frac{b}{2a}\)，\(q=c-\frac{b^2}{4a}\)）。
例： \[ y = x^2 + 4x + 1 \] \[ = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 1 = (x+2)^2 - 3 \]
\[ y = a(x-h)^2 \] は、\(y=ax^2\) を **右に h** だけ平行移動したもの。
\[ y = ax^2 + k \] は、\(y=ax^2\) を **上に k** だけ平行移動したもの。
\[ y = a(x - p)^2 + q \] は、\(y=ax^2\) を ・右へ \(p\) ・上へ \(q\) だけ移動したもの。
一般形 \( y = ax^2 + bx + c \) の軸は \[ x = -\frac{b}{2a} \]
平方完成より頂点は \[ \left(-\frac{b}{2a},\; c - \frac{b^2}{4a}\right) \]
軸の左右で増加・減少が反転する。
例：\(y = (x-1)^2 - 2\) の場合
グラフを描かずとも、平方完成と軸を用いれば読み取れる。
3点 A, B, C を通る二次関数は 一般形 \(y=ax^2+bx+c\) に代入して, 3つの連立方程式を解くことで求められる。
頂点が分かっていれば標準形を用いると簡単： \[ y = a(x-p)^2 + q \] に点を代入して a を求める。
\[ y = ax^2 + bx + c \] が x軸と交わる点は \[ ax^2 + bx + c = 0 \] の解。
頂点の y値と、軸の位置からグラフの上下関係が判定できる。
y軸上は \(x=0\)。 よって \[ y = c \] となるので、y軸との交点は常に \((0, c)\)。
グラフを描くときの基本ポイントの 1つ。
\[ ax^2+bx+c=0 \] の解は、二次関数のグラフが x軸と交わる x座標。
例： \[ ax^2+bx+c>0 \] は、放物線の「x軸より上側」の領域。
解を \(x_1
区間 \([m,n]\) 上での最大・最小は、
この 3つを比較して決める。