直角三角形で，斜辺を \(c\)，他の2辺を \(a,b\) とすると \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
直角三角形で，ある鋭角 \(\theta\) に対して：
| \(\theta\) | \(\sin\theta\) | \(\cos\theta\) | \(\tan\theta\) |
|---|---|---|---|
| \(30^\circ\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) |
| \(45^\circ\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
直角三角形において
底辺を \(b\)，高さを \(h\) とすると \[ S = \frac{1}{2}bh \]
各辺を \(a,b,c\)，それぞれの対角を \(A,B,C\) とすると，
三角形 \(ABC\) において，辺の長さを \[ a = BC,\quad b = CA,\quad c = AB \] とし，それぞれの対角を \(A,B,C\) とすると，
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]
ここで \(R\) は外接円の半径。
三角形 \(ABC\) において
もし \(\angle A = 90^\circ\) なら \(\cos A = 0\) なので \[ a^2 = b^2 + c^2 \] となり，三平方の定理を含むより一般的な定理である。
三角形 \(ABC\) を考えます。
辺の長さを
\[
BC = a,\quad CA = b,\quad AB = c
\]
とし，角 \(\angle C\) の大きさを \(\theta\) とします。
証明したい余弦定理は
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta
\]
です（他の辺についても同様に成り立ちます）。
頂点 \(C\) から辺 \(AB\) に垂線を下ろし，その足を \(D\) とします。
このとき，三角形 \(ABC\) は 2 つの直角三角形 \(\triangle BCD\)，\(\triangle ACD\) に分かれます。
高さを \(h = CD\)，また，\(BD = x\) とおくと， \[ AB = c = BD + AD = x + AD \] なので， \[ AD = c - x \] と書けます。
角 \(\theta\) は \(\angle C\) なので，辺 \(b = CA\) と辺 \(c\) の方向にある辺 \(BC = a\) の間の角です。
高さ \(CD = h\) は辺 \(AB\) への垂線ですから，三角形 \(\triangle BCD\) に注目すると
したがって
\[ x = a\cos\theta \tag{1} \]となります。
直角三角形 \(\triangle BCD\) に三平方の定理を用いると
\[ h^2 + x^2 = a^2 \tag{2} \]同様に，直角三角形 \(\triangle ACD\) に三平方の定理を用いると
\[ h^2 + (c - x)^2 = b^2 \tag{3} \](2)式から \(h^2 = a^2 - x^2\) と書けるので，これを (3)式に代入します：
\[ a^2 - x^2 + (c - x)^2 = b^2 \]左辺を展開すると
\[ \begin{aligned} a^2 - x^2 + (c - x)^2 &= a^2 - x^2 + (c^2 - 2cx + x^2) \\ &= a^2 + c^2 - 2cx \end{aligned} \]よって
\[ a^2 + c^2 - 2cx = b^2 \]これを \(a^2\) について解くと
\[ a^2 = b^2 - c^2 + 2cx \tag{4} \](1)式の \(x = a\cos\theta\) を (4)式に代入します：
\[ a^2 = b^2 - c^2 + 2c(a\cos\theta) \]両辺を整理すると
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta \]となり，これで三角形 \(ABC\) に対する余弦定理 \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta \] が証明されました。
前回扱ったように，ベクトル \(\vec{b}, \vec{c}\) のなす角を \(\theta\) とし，
\[ \vec{a} = \vec{b} - \vec{c},\quad a = |\vec{a}|,\ b = |\vec{b}|,\ c = |\vec{c}| \]とすると，ベクトルの長さと内積から
\[ a^2 = |\vec{a}|^2 = |\vec{b} - \vec{c}|^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta \]が求まります。この式は，まさに余弦定理の形そのものであり， 「内積の定義」と「三平方の定理」を結ぶ役割を果たしています。
点 \(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\) の距離 \(AB\) は \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
線分 \(AB\) の中点 \(M\) の座標は \[ M\left( \frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
線分 \(AB\) を \(m:n\) に内分する点 \(P\) の座標は \[ P\left( \frac{nx_1 + mx_2}{m+n},\; \frac{ny_1 + my_2}{m+n} \right) \]
底辺の長さは距離の公式，高さは y座標や直線との距離などから求める。
点 \(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)，\(C(x_3, y_3)\) を頂点とする三角形の面積 \(S\) は \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]
（高1では，特に「底辺×高さ÷2」の考え方で扱う問題が中心。）