高校数学 数学Ⅱ 式と証明
1. 恒等式・条件付き等式
(1) 恒等式の定義
変数に関係なく、すべての定義域の値で等号が成り立つ式を恒等式という。
例：\( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\)
(2) 条件付き等式
定数、あるいは変数に特定の条件を付けて成り立つ等式。
例：\(x \neq 0\) のとき
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy}
\]
(3) 等号の証明・恒等式の利用
恒等式を使った式の変形や、ある式が恒等式であることを証明する問題が出題される。
例：式を左右別に展開して一致を確認。
2. 多項式の除法
(1) 割り算の考え方
多項式 \(P(x)\) を \(D(x)\) で割ると，
\[
P(x) = Q(x)D(x) + R(x)
\]
が成り立つ。ここで \(Q(x)\) が商，\(R(x)\) が余り。
(2) 因数定理・剰余定理
- 剰余定理：\(P(x)\) を \((x-a)\) で割った余りは \(P(a)\)。
- 因数定理：\(P(a)=0\) ⇔ \(x-a\) が \(P(x)\) の因数。
(3) 長除法・差込法（スキップ法）
多項式の除法を行うための手続き。解答で手順書くこともある。
3. 分数式とその計算
(1) 定義・注意点
変数を含む分母を持つ式を分数式という。定義域を明示することが重要。
(2) 通分・約分・整理
- 通分して共通の分母にし，分子を整理する。
-
約分できる因子があれば除く。ただし定義域の注意を忘れず。
例：\(\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1} = x+1\), ただし \(x\neq1\)。
(3) 分数式の加減・乗除・式の値・不等式への応用
分数式は不等式や関数のグラフの定義域指定に登場。分母＝0を除く。
4. 証明と論理的な式の取り扱い
(1) 論証の構造
- 仮定 → 論理的変形 → 結論
- 反証法・背理法・数学的帰納法も式の証明で使われる。
(2) 恒等変形を使った証明
例えば、等式を変形して両辺が同じになることを示す。
\[
\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1} = \frac{2}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}
\]
のような変形・整理を通じて証明。
(3) 多項式・分数式を使った証明の典型
因数分解・除法・同類項整理などの技術を使って証明を構成。
5. 学習しておくべき公式・確認事項
- 因数定理・剰余定理。
- 多項式の除法公式：\(P(x)=Q(x)D(x)+R(x)\)。
-
分数式の基本変形。通分・約分・式の値における定義域。
-
恒等式を使った式の証明の流れ。
6. よく出る問題の型
- 多項式を \((x-a)\) で割って余りを求める。
-
分数式を通分・約分して簡単な式に変形する。定義域を明記。
-
恒等式を証明せよ、またはある式が恒等式かどうか判定せよ、という問題。
\li>式を変形して証明・条件付きで成り立つ等式を示せという問題。