\[ i^2 = -1 \] を満たす数を虚数単位といい、\(\sqrt{-a} = \sqrt{a}\,i\)（\(a>0\)）と表すこともある。 :contentReference[oaicite:0]{index=0}
実数 \(a\)、虚数部分 \(b\) によって \[ z = a + b\,i \] と表す。特に、\(a\) を実部、\(b\) を虚部という。 :contentReference[oaicite:1]{index=1}
\[ a + b\,i = c + d\,i \quad\iff\quad a = c \;\;\text{かつ}\;\; b = d \] 特に \(a + b\,i = 0\) なら \(a=0\) かつ \(b=0\) 。 :contentReference[oaicite:2]{index=2}
\[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \] \[ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \]
乗法： \[ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)\,i \] 除法： \[ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)\,i}{c^2 + d^2} \] として、分母を実数化する操作が基本。 :contentReference[oaicite:3]{index=3}
複素数 \(z = a + bi\) の共役を \(\overline z = a - bi\) と書く。 また、絶対値（大きさ）は \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ a x^2 + b x + c = 0 \quad (a \neq 0) \] の判別式を \(D = b^2 - 4ac\) とすると：
上の方程式の解を \(\alpha, \beta\) としたとき、 \[ \alpha + \beta = -\frac b a, \quad \alpha\beta = \frac c a \]
複素数 \(a + bi\) を平面上の点 \((a, b)\) に対応させ、横軸を実軸、縦軸を虚軸とすると、図的にも扱える。
\[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta), \quad r=|z| \] と書くことで回転・拡大などの幾何的操作と結び付く。
多項式 \(P(x)\) を \((x - k)\) で割ったとき、 \[ P(x) = (x - k)Q(x) + R \;\;\Longrightarrow\;\; P(k) = R \] を剰余定理、そして \(P(k)=0\) ⇔ \((x - k)\) が因数 ⇔ 因数定理。 :contentReference[oaicite:5]{index=5}
例えば 3次・4次方程式を解くとき、実数解＋虚数解という観点から複素数の知識が活きる。高次方程式を整式として扱う際に重要。 :contentReference[oaicite:6]{index=6}