高校数学　数学Ⅱ 図形と方程式

1. 直線の方程式とその基本

(1) 2点を通る直線

点 \(A(x_1,y_1)\) と \(B(x_2,y_2)\) を通る直線の式（\(x_1 \neq x_2\) の場合）は： \[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \]

(2) 傾き・切片・標準形・一般形

• 傾き \(m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
• 傾き切片形：\(y = mx + n\)
• 一般形：\(ax + by + c = 0\)
• 傾きが負の逆数になると垂直：例えば直線 \(y = m x + n\) に垂直な直線の傾きは \(-\tfrac1m\)。 ([turn0search3])

(3) 点と直線の距離・平行・垂直条件

直線 \(ax+by+c=0\) と点 \(P(x_0,y_0)\) の距離： \[ d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] 直線同士の平行条件：傾きが等しい。垂直条件：\(m \cdot m' = -1\) （\(m\neq0\)）など。 ([turn0search3])

2. 円の方程式と関連性

(1) 中心・半径形式

円の中心を \((p,q)\)、半径を \(r\) とすると： \[ (x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2 \] が基本形。 ([turn0search3])

(2) 一般形・決定方法

\[ x^2 + y^2 + l x + m y + n = 0 \] の形から中心・半径を読み取るには平方完成を用いる。例題多数。 ([turn0search8])

(3) 直径を通る点・座標軸に接する円など特別な定め方

例：2点を直径の両端とする円、ある直線に接する円、座標軸に接する円など。これらの条件から方程式を求める典型。 ([turn0search9])

(4) 円と直線の位置関係・共有点の個数判定

円 \(C:(x-p)^2+(y-q)^2=r^2\) と直線 \(l: a x + b y + c = 0\) のとき、中心と直線の距離を \[ d = \frac{|a p + b q + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] として、 \[ \begin{cases} d < r & \text{→2点で交わる} \\ d = r & \text{→1点で接する} \\ d > r & \text{→交わらない} \end{cases} \] が成り立つ。 ([turn0search0]turn0search6)

3. 軌跡・領域・逆像法・束の考え方

(1) 軌跡の基本と求め方

点 P がある条件を満たして動くとき、その P の通る経路が軌跡。 手順： ① P を \((x,y)\) とおく。 ② 条件を式にする。 ③ 整理して、その方程式が表す図形を言う。 ([turn0search3])

(2) 領域（不等式で表される点の集まり）

例：\((x-1)^2 + (y+2)^2 \le 9\) は中心 \((1,-2)\)、半径 3 の円の内部を含む領域。条件を理解して図示。 ([turn0search3])

(3) 束の考え方（2つ以上の図形を通る「何か」を作る）

例：2つの円の交点を通る直線を求めるとき、「\(f(x,y)=0\) と \(g(x,y)=0\)」を足し合わせて \[ f(x,y) + k\,g(x,y) = 0 \] の形で通る直線を探す手法。 ([turn0search2])

4. 代表的な公式・確認事項

• 直線の一般形：\(ax + by + c = 0\)
• 点と直線の距離：\(\dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
• 円の基本方程式：\((x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2\)
• 円と直線の位置関係：中心と直線の距離と半径を比べる。 ([turn0search6])
• 軌跡・領域の出題では「点を\((x,y)\)とおいて条件化→整理→図形決定」の流れを守る。

5. よく出る問題の型

• 2点を通る直線の方程式を求める。
• 点・直線・平行・垂直な直線の方程式を求める。
• 円の方程式（中心・半径・軸に接するなど）を求める。
• 円と直線の交点の個数を判定・求める。([turn0search0])
• 軌跡の方程式を求める・領域を不等式で表す。
• 束の考え方による直線や円の共通項を求める。 ([turn0search2])

参考URL

 

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