高校数学　数学Ⅱ　三角関数

1. 角の測り方・弧度法と度数法

(1) 度数法・弧度法

角度を表す方法として \[ 360^\circ = 2\pi \;\;\Longrightarrow\;\; 1^\circ = \frac{\pi}{180},\; \pi\,\text{rad} = 180^\circ \] という関係が成り立つ。 この「角をラジアン（rad）で表す」測り方を弧度法という。 ([turn0search2]turn0search3)

(2) 弧度法を用いる利点・定義域・グラフとの関係

関数 \(\sin x, \cos x, \tan x\) などを微分・積分したり、周期性を考えたりするときには弧度法が基本。 また、グラフの周期・波長・最大最小の議論では弧度法が便利。

2. 三角比の基本関係・相互関係

(1) 定義（単位円・直角三角形）

単位円を用いて角 \(x\) に対して \[ \sin^2x + \cos^2x = 1 \] また \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \] が成り立つ。 ([turn0search0]turn0search8)

(2) その他の関係式

• \(1 + \tan^2x = \dfrac1{\cos^2x}\)
• 符号・象限・周期性（例：\(\sin(x + 2\pi) = \sin x\) など）

3. 加法定理・和差の公式

(1) 加法定理（和の公式）

\[ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \] \[ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \] など。 ([turn0search1]turn0search4)

(2) 差の公式・その他の和差公式

\[ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \] \[ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \] など。

(3) 加法定理の応用例

例題：\(\cos\frac{\pi}{12} = \cos(60^\circ -45^\circ)=\dots\) のように有名角を和差で表して計算。 ([turn0search6]turn0search5)

4. 倍角・半角・積和・和積の公式

(1) 倍角公式

\[ \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta,\quad \cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta \] など。 ([turn0search0]turn0search5)

(2) 半角・変換公式

\[ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos2\theta}{2},\quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2} \] など。

(3) 和積・積和の公式

\[ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr] \] など、和積変換の公式も出題頻度高。 ([turn0search8])

5. グラフ・変域・最大最小・周期性

(1) グラフの特徴

\(\sin x, \cos x\) は振幅 1、周期 \(2\pi\)、\(\tan x\) は周期 \(\pi\)、定義されない点あり。

(2) 変域・最大・最小値

\[ -1 \le \sin x \le 1,\quad -1 \le \cos x \le 1 \] \(\tan x\) の値域は実数全体。

(3) 位相移動・図示のポイント

グラフの上下・左右・周期的な変化を押さえておく。

6. 式の値・方程式・不等式（典型）

(1) 式の値を求める

加法定理・倍角・半角等の公式を用いて \(\sin\frac5\pi{12}\) などを計算。 ([turn0search7])

(2) 三角方程式・三角不等式

例：\(\sin x = \dfrac12\) の解を一般解まで書く。 不等式：\(\sin x > \dfrac12\) など。

(3) 倍角・和差を含む式変形問題への応用。

7. 代表的な公式・確認事項

• \(\sin^2\theta + \cos^2\theta=1\)
• \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
• 加法定理：\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
• 倍角・半角公式・和積公式など。 \li>ラジアンを使う：\(\pi\)／2／3 などで書く練習を。

8. よく出る問題の型

• 加法定理を用いて式の値を求める。例：\(\sin(\alpha+\beta)\)、\(\cos(\alpha-\beta)\)。
• 倍角・半角・和積を使って式を変形・値を求める。
• 三角方程式・三角不等式を解く。周期性・定義域に注意。
• グラフを用いた最大最小・周期・シフトの問題。

参考URL

🔝高校数学　目次に戻る