高校数学 数学Ⅱ 指数関数・対数関数
1. 指数の定義と指数法則
(1) 指数の拡張
指数 \(a^n\) は、自然数から整数・有理数・実数へと拡張して定義される。
特に
\[
a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \quad
a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}
\]
（\(a>0\)）
(2) 指数法則（必ず暗記）
- \(a^m a^n = a^{m+n}\)
- \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
- \((a^m)^n = a^{mn}\)
- \((ab)^n = a^n b^n\)
- \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)
(3) 指数関数の定義
\[
y=a^x \quad (a>0,\; a\neq1)
\]
を指数関数という（底 a が 2, 3, e など）。
2. 指数関数の性質・グラフ
(1) 単調性
(2) 代表的なグラフの形
・必ず \(y>0\)（x軸に漸近）
・\(x=0\) のとき \(y=1\)
(3) 平行移動・係数の影響
\[
y = k a^{x - p} + q
\]
のような形の変形も典型。
3. 対数関数の定義
(1) 対数の定義（超重要）
\[
\log_a b = x \quad \Longleftrightarrow \quad a^x = b
\]
（底 \(a>0,\; a\neq1\)、真数 \(b>0\)）
(2) 常用対数（底10）・自然対数（底 e）
\[
\log b = \log_{10} b, \qquad \ln b = \log_e b
\]
常用対数表（log 表）の読み方も高校Ⅱで扱う。
4. 対数の法則（log の基本公式）
(1) 加法・減法・乗除・べき乗
- \(\log_a (MN)=\log_a M + \log_a N\)
- \(\log_a \left(\dfrac{M}{N}\right)=\log_a M - \log_a N\)
- \(\log_a(M^k)=k \log_a M\)
(2) 底の変換公式（必須）
\[
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
\]
とくに
\[
\log_a b = \frac{\log b}{\log a}
\]
（常用対数を使う）。
(3) 逆関係
\[
a^{\log_a b}=b,\qquad
\log_a a^x = x
\]
5. 指数方程式・対数方程式
(1) 指数方程式の解法
- 底をそろえる（例：\(2^{x+1}=8=2^3\)）
- 対数を取る（真数が正である条件に注意）
(2) 対数方程式の解法
- 対数の定義に戻す：\(\log_a b = x \iff a^x=b\)
- 真数条件 \(b>0\) を必ず確認
- 底条件：\(a>0,\; a\neq1\)
(3) 典型的な問題例
例：
\[
\log_2 (x+1) = 3 \quad\Rightarrow\quad x+1 = 8 \Rightarrow x=7
\]
6. 指数関数・対数関数のグラフ比較
(1) 代表的な性質
- 指数：\(y=a^x\) → x軸に漸近（正の値のみ）
- 対数：\(y=\log_a x\) → y軸に漸近（x>0 の範囲）
- 互いに逆関数の関係（線対称：直線 \(y=x\)）
(2) 定義域・値域
- 指数関数：domain＝全実数、range＝正の実数
- 対数関数：domain＝正の実数、range＝全実数
7. 指数・対数を含む応用（高校Ⅱで重要）
(1) 等比数列との関係
指数法則・対数法則と対応しており、後半の「数列」にもつながる。
(2) グラフの変形・最大最小の応用
例：\(y=a^{x+k}+b\)、\(y = \log_a (x-k) + c\) のように平行移動や係数の意味を理解する。
(3) 科学・工学的応用（pH、デシベル、指数増加）
指数・対数は実社会で頻出（高校教材にも典型題として挙がる）。
8. 代表的な公式・暗記項目まとめ
- 指数法則（乗法・除法・冪乗）
- \(\log_a b = x\iff a^x=b\)
- 対数法則：加法・減法・冪乗
- 底変換公式：\(\log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}\)
- 指数・対数の逆関係：\(a^{\log_a b}=b\)、\(\log_a a^x=x\)
- 指数方程式・対数方程式：真数条件・底条件を必ず確認
9. よく出る問題の型
- 指数法則・対数法則を使った式変形。
- 底をそろえて指数方程式を解く。
- 対数の定義に戻して方程式を解く。
- 底変換公式で複雑な log を簡単化。
- 指数・対数関数のグラフを描く・特徴を比較する。
- 指数・対数を含む文章題（増加・減衰、等比的増加）。