高校数学 数学Ⅱ 微分法・積分法
1. 微分法の基礎
(1) 微分（導関数・微分係数）の考え方
関数 \(y=f(x)\) において、
\[
f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\]
が定義されるとき、これを導関数または微分係数という。 :contentReference[oaicite:0]{index=0}
(2) 微分の目的・応用
グラフの接線・傾き・増減・極値を調べるために用いられる。数学Ⅱ範囲では「整式／分数関数の微分」「グラフの増減・極値」を中心に扱う。 :contentReference[oaicite:1]{index=1}
2. 微分の公式・利用（数学Ⅱの範囲）
(1) 基本公式
- \(\displaystyle \frac{d}{dx}[c] = 0\)（定数）
- \(\displaystyle \frac{d}{dx}[k\,f(x)] = k\,f'(x)\)
- \(\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)+g(x)] = f'(x) + g'(x)\) :contentReference[oaicite:2]{index=2}
(2) 整式・分数関数の微分（数学Ⅱではこれが主）
整式の微分・分母に変数を含む分数関数の微分について学ぶ。例えば
\[
y = \frac{1}{x},\; y' = -\frac{1}{x^2}
\]
など。 :contentReference[oaicite:3]{index=3}
(3) 増減表・極値の判断
\(f'(x)\) の符号から関数の増加・減少を判断。極大／極小は \(f'(x)=0\) の候補点で確認。数学Ⅱではこの範囲まで。 :contentReference[oaicite:4]{index=4}
3. 積分法の基礎（数学Ⅱ範囲）
(1) 不定積分と定積分の区別
・不定積分：\(\int f(x)\,dx = F(x) + C\)（原始関数）
・定積分：\(\int_a^b f(x)\,dx\) は区間 \([a,b]\) における面積等の意味をもつ。 :contentReference[oaicite:5]{index=5}
(2) 「面積を積分で求める」という発想
グラフ \(y=f(x)\)、x-軸、x=a, x=b によって囲まれた図形の面積を定積分で求めるという考え方。数学Ⅱではこの形までが主な応用。 :contentReference[oaicite:6]{index=6}
4. 積分の計算方法・性質（数学Ⅱ範囲）
(1) 基本的な不定積分の公式
例えば
\[
\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1}+C \quad (n\neq -1)
\]
など。数学Ⅱでは主にこのような基本型を使う。 :contentReference[oaicite:7]{index=7}
(2) 定積分の性質・計算の約束事
- \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) \)（ただし \(F'(x)=f(x)\)） :contentReference[oaicite:8]{index=8}
- 区間を分割する：\(\int_a^c + \int_c^b = \int_a^b\)
- 定積分と面積の関係（正値・符号・図形の解釈） :contentReference[oaicite:9]{index=9}
5. 学習しておくべき公式・確認事項（数学Ⅱ限定）
- 導関数の基本公式（定数・和・定数倍・整式）
- 増減表・極値の判断方法
- 不定積分・定積分の意味と計算の基本法則
- 定積分で表される面積のイメージを持つこと :contentReference[oaicite:10]{index=10}
6. よく出る問題の型（数学Ⅱ範囲）
- 整式・分数関数の微分を計算する。
- 増減表を作成して極値を判定する。
- 不定積分を計算する（基本公式の適用）。
- 定積分を使って、例えば「放物線とx軸で囲まれた面積」などを求める。 :contentReference[oaicite:11]{index=11}