高校数学 数学Ⅲ 関数
1. 分数関数
(1) 定義と基本形
分母または分子に変数が入る、例えば
\[
y = \frac{k}{x}\; (k \ne 0)
\]
のような関数を分数関数という。 :contentReference[oaicite:0]{index=0}
(2) グラフの特徴・漸近線
- 定義域：\(x \ne 0\)、値域：\(y \ne 0\)（この基本形の場合）
- 漸近線：\(x = 0\)、\(y = 0\) となる。 :contentReference[oaicite:1]{index=1}
-
一般形
\[
y = \frac{k}{x - p} + q
\]
のグラフは、基本形を
・右へ \(p\) 移動
・上へ \(q\) 移動
したものとなり、漸近線は \(x = p\)、\(y = q\)。 :contentReference[oaicite:2]{index=2}
(3) 応用・変形例
分数関数の分子・分母を展開・因数分解し、\(\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}\) を「\(k/(x-p) + q\)」の形に変形することでグラフを読み解く。 :contentReference[oaicite:3]{index=3}
2. 無理関数
(1) 定義と基本形
文字が根号内にある関数、例えば
\[
y = \sqrt{x},\quad y = \sqrt{ax + b}
\]
を無理関数という。 :contentReference[oaicite:4]{index=4}
(2) 定義域と値域・グラフの形状
- 例えば \(y = \sqrt{x}\) のとき、定義域：\(x \ge 0\)、値域：\(y \ge 0\)
-
変形例：
\[
y = \sqrt{a(x - p)} + q
\]
を考えると、基本形のグラフを右へ \(p\)、上へ \(q\) 移動した形になる。 :contentReference[oaicite:5]{index=5}
(3) 応用・共有点・不等式など
無理関数と直線・他の関数の共有点を求めるために、両辺平方などを用いて解く問題がよく出る。定義域制限にも注意。 :contentReference[oaicite:6]{index=6}
3. 合成関数
(1) 定義
関数 \(f(x)\) と \(g(x)\) が与えられたとき、
\[
(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr),\quad (g \circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr)
\]
を合成関数という。一般に \((f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)\。 :contentReference[oaicite:7]{index=7}
(2) 定義域・値域の交代・注意点
- 合成関数を定義するには、\(g(x)\) の値域が \(f\) の定義域に含まれている必要がある。
-
例として、\(f(x)=x+1\), \(g(x)=2^x\) のとき
\[
(g\circ f)(x)=2^{x+1},\quad (f\circ g)(x)=2^x+1
\]
となる。 :contentReference[oaicite:8]{index=8}
(3) 応用・逆関数との関係など
合成関数を使った逆関数の定義・性質の確認、グラフの読み取り、定義域チェックの問題などが出題される。 :contentReference[oaicite:9]{index=9}
4. 逆関数
(1) 定義と求め方
関数 \(y = f(x)\) に対して、出力 \(y\) を入力 \(x\) に戻す関数を逆関数という。
\[
y = f^{-1}(x)
\]
ただし、\(f\) が一対一対応である必要がある。 :contentReference[oaicite:10]{index=10}
(2) 定義域・値域の入れ替え・グラフの性質
- \(f\) の定義域＝\(f^{-1}\) の値域、\(f\) の値域＝\(f^{-1}\) の定義域。
-
\(y = f(x)\) と \(y = f^{-1}(x)\) のグラフは直線
\[
y = x
\]
に関して対称になる。 :contentReference[oaicite:11]{index=11}
(3) 逆関数の例・変形・合成との関係
例えば、分数関数・無理関数・２次関数などの逆関数の求め方を扱う。
合成関数との関係で
\[
f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x
\]
が成り立つ（定義域・値域に注意）。 :contentReference[oaicite:12]{index=12}
5. 代表的な公式・確認事項
- 分数関数 \(y = \dfrac{k}{x}\;(k\neq0)\)：漸近線 \(x = 0\), \(y = 0\)。
-
平行移動形：
\[
y = \frac{k}{x-p} + q
\]
→ 漸近線 \(x = p\, ,\, y = q\)。
- 無理関数 \(y = \sqrt{ax + b}\)：定義域 \(ax + b \ge 0\)、値域 \(y \ge 0\) など。
-
合成関数
\[
(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr)
\]
の定義域・値域チェックを必ず行う。 :contentReference[oaicite:13]{index=13}
-
逆関数の性質：
\[
f(f^{-1}(x)) = x,\; f^{-1}(f(x)) = x
\]
グラフ的には \(y=x\) に関して対称。
6. 練習すべき問題の型
- 分数関数のグラフ描写・漸近線の確認・共有点の求め方。
<
- 無理関数の定義域・値域・グラフ描写・直線との交点・不等式。
- 合成関数の計算、定義域の確認、\( (f \circ g)(x) \) と \( (g \circ f)(x) \) の違い。
- 逆関数を求める・定義域／値域の入れ替え・グラフの対称性・合成との組み合わせ。