高校数学　数学Ⅲ　微分法

1. 微分・導関数の基礎と記法

(1) 導関数・微分係数の定義

\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \] これを微分係数（導関数）という。

(2) 微分可能 ⇒ 連続

微分可能なら必ず連続。逆は成り立たない。

(3) 微分記号の書き方

\[ f'(x),\quad \frac{dy}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(x) \]

2. 微分公式（和・差・積・商・合成・逆関数）

(1) 和・差・定数倍

• \((f+g)' = f' + g'\)
• \((c f)' = c f'\)

(2) 積の微分

\[ (fg)' = f'g + fg' \]

(3) 商の微分

\[ \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g - fg'}{g^2} \]

(4) 合成関数（チェーンルール）

\[ (f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x) \]

(5) 逆関数の微分

\[ (f^{-1})'(x)=\frac1{f'(f^{-1}(x))} \]

3. 代表的な関数の微分

(1) べき関数・無理関数・分数関数

\[ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1},\quad \frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac1{2\sqrt{x}},\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{k}{x}\right)=-\frac{k}{x^2} \]

(2) 三角関数

\[ (\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (\tan x)'=\sec^2 x \]

(3) 指数・対数関数

\[ (e^x)'=e^x,\quad (\ln x)' = \frac1x \]

4. 平均値の定理（重要定理）

(1) ロルの定理

関数 \(f(x)\) が ・閉区間 \([a,b]\) で連続 ・開区間 \((a,b)\) で微分可能 ・\(f(a)=f(b)\) を満たすとき、 \[ f'(c)=0 \quad (a

(2) 平均値の定理

関数 \(f(x)\) が ・\([a,b]\) で連続 ・\((a,b)\) で微分可能 なら、 \[ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \quad (a

5. 直線運動の速度・加速度（微分の物理的意味）

(1) 位置・速度・加速度

位置を \(x(t)\) とすると、

• 速度：\(\displaystyle v(t) = x'(t)\)
• 加速度：\(\displaystyle a(t) = v'(t) = x''(t)\)

(2) 例：直線運動

\[ x(t)=t^3-3t \Rightarrow v(t)=3t^2-3,\; a(t)=6t \]

(3) 等速直線運動

\[ x(t)=vt \Rightarrow v(t)=v,\quad a(t)=0 \]

6. 等速円運動の速度・加速度

(1) 位置ベクトル

半径 \(r\)、角速度 \(\omega\) の等速円運動 \[ \vec r(t)=\begin{pmatrix} r\cos(\omega t) \\ r\sin(\omega t) \end{pmatrix} \]

(2) 速度ベクトル

\[ \vec v(t)=\vec r'(t) =\begin{pmatrix} -r\omega\sin(\omega t) \\ r\omega\cos(\omega t) \end{pmatrix} \] 大きさ：\(|\vec v|=r\omega\)

(3) 加速度ベクトル

\[ \vec a(t)=\vec v'(t) =-\omega^2 \begin{pmatrix} r\cos(\omega t) \\ r\sin(\omega t) \end{pmatrix} = -\omega^2 \vec r(t) \] 円の中心方向（向心加速度）。 大きさ：\(|\vec a|=r\omega^2\)

7. 微分の応用：増減表・極値・凹凸・変曲点

(1) 増減表

\(f'(x)\) の符号で増加・減少を調べる。

(2) 極値

\(f'(x)=0\) で符号変化をチェックして極大・極小を判定。

(3) 凹凸・変曲点

\(f''(x)>0\)：上に凸 \(f''(x)<0\)：下に凸 凹凸が変わる点が変曲点。

(4) 接線の方程式

\[ y-f(a)=f'(a)(x-a) \]

8. sin などの近似式（微小角近似）

(1) 有名な近似（\(x\to0\)）

\[ \sin x \approx x,\qquad \tan x \approx x,\qquad \cos x \approx 1-\frac{x^2}{2} \] 小さい角度（ラジアン）で非常に重要。

(2) 極限を使った根拠

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1 \]

9. 学習しておくべき公式・まとめ

• \((x^n)' = nx^{n-1}\)
• \((e^x)' = e^x,\; (\ln x)'=1/x\)
• 三角関数の導関数：\((\sin x)'=\cos x\) 等
• 合成関数：\((f\circ g)' = f'(g)\,g'\)
• 逆関数：\((f^{-1})' = 1/f'(f^{-1})\)
• 平均値の定理：\(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
• 速度・加速度：\(v=x'(t),\; a=x''(t)\)
• 等速円運動：\(|v|=r\omega,\; |a|=r\omega^2\)
• 微小角近似：\(\sin x\approx x,\;\cos x\approx1-x^2/2\)

10. よく出る問題の型

• 微分公式を用いた計算問題（無理・分数・合成）。
• 増減表・極値・凹凸を使ったグラフ問題。
• 平均値の定理の応用問題。
• 接線の方程式を求める問題。
• 物理量（位置→速度→加速度）を扱う問題。
• 等速円運動の速度・向心加速度の導出。
• 近似式を使う極限・三角関数問題。

参考URL

 

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