高校数学 数学A 平面図形
1. 線分・角・平行線の基本性質
(1) 線分の比・中点・内分・外分
- 線分 \(AB\) 上の点 \(P\) が \(AP:PB = m:n\) を満たすとき、点 \(P\) は線分 \(AB\) を **内分** している。
- 延長線上で \(AQ:QB = m:n\) を満たす点 \(Q\) を **外分点**という。 ([turn0search1])
- 中点：\(AP = PB\) → 比 \(1:1\)。
(2) 平行線・対応角・錯角の性質
- 2本の直線が平行のとき、対応角・錯角が等しい。
- 三角形で平行線を引くと「中点連結定理」が使える：三角形の2辺の中点を結ぶ線分は残りの辺に平行で、その長さは半分。 ([turn0search1])
2. 三角形の基本性質
(1) 内角・外角の和
三角形の内角の和は：
\[
180^\circ
\]
外角の定理：三角形の外角の大きさは、隣接しない内角の和に等しい。
(2) 三角形の成立条件・一辺の長さの関係
-
三角形において 3 辺の長さが \(a,b,c\) のとき，成立条件：
\[
a + b > c,\; b + c > a,\; c + a > b
\]
([turn0search5])
(3) 面積公式・比の応用
底辺と高さを用いた基本公式：
\[
S = \frac12 \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ})
\]
3. 相似と比・面積比
(1) 相似な図形
(2) 比・面積比・体積比
- 相似比が \(k\) のとき，面積比は \(k^2\)。
- 例えば，線分の比が \(2:3\) なら，面積比は \(4:9\)。
4. 円・円周角・接線の性質
(1) 円周角の定理
円において，中心角と円周角の関係：
同じ弧に対する円周角は等しく，中心角は円周角の 2 倍。 ([turn0search5])
(2) 接線と弦・角の性質
円において、接線とその接点を通る弦との角度は、その弦が張る円周角に等しい。
（接弦定理） ([turn0search5])
(3) 円の位置関係・接線の長さ／方べきの定理
- 円と直線・円と円の位置関係：内接・外接・交わる・交わらないなど。
-
方べきの定理：点 P から円に引いた 2 本の直線が円と交わるとき，
\[
PA \times PB = PC \times PD
\]
が成り立つ。 ([turn0search1])
5. 多角形・四辺形の性質
(1) 平行四辺形・長方形・正方形
- 平行四辺形の対辺はそれぞれ平行かつ等しい。
- 長方形：四角すべてが直角。
- 正方形：対辺平行、かつすべての辺が等しい。
(2) 円に内接／外接する四辺形
- 円に内接する四辺形：対角の和が \(180^\circ\)。
- 円に外接する四辺形：対辺の和が等しい。
6. 線分の比と座標・内分点・外分点
(1) 内分点・外分点の座標（応用）
2点 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\) を \(m:n\) に内分する点 \(P\) の座標：
\[
P\left( \frac{n x_1 + m x_2}{m+n},\; \frac{n y_1 + m y_2}{m+n} \right)
\]
(2) 中点の座標
\[
\left( \frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]
7. 代表的な定理と公式（必須事項）
-
中点連結定理：三角形 \(ABC\)、辺 \(AB\)、\(AC\) の中点をそれぞれ \(M\)、\(N\) としたとき：
\[
MN \parallel BC,\quad MN = \tfrac12 BC
\]
([turn0search1])
-
角平分線定理：三角形 \(ABC\) で \(AD\) が角 \(A\) の内角二等分線、辺 \(BC\) と交わる点を \(D\) とすると：
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
([turn0search11])
-
ヘロンの公式：三角形の 3 辺 \(a,b,c\)、半周長 \(s=\frac{a+b+c}{2}\) のとき面積：
\[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\]
([turn0search5])
8. 平面図形でよく出る問題の型
- 線分比・内分・外分の位置関係を利用する問題。
- 平行線・相似・面積比を用いた証明問題。
- 円・弧・接線・方べきの定理を用いた長さや角度を求める問題。
- 多角形（特に三角形・四辺形）における角・辺・面積の関係を利用する問題。
- 座標を用いて線分の比・中点・距離を求める応用問題。