平面上の点 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\) に対して \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1) \]
ベクトル \(\vec{a}=(a_1,a_2)\)，\(\vec{b}=(b_1,b_2)\) の演算：
2次元のベクトル
\(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{b} = (x_2, y_2)\) を考えます。
内積は「長さ」と「なす角」を用いて
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\;|\vec{b}|\cos\theta
\]
と定義されます（\(\theta\) は \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) のなす角）。
ここから，成分表示
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2
\]
がなぜ成り立つかを，余弦定理から導きます。
三角形の3辺の長さをそれぞれ
\(|\vec{a}|\)，\(|\vec{b}|\)，\(|\vec{a} - \vec{b}|\) とします。
ベクトルの図形的な意味から，\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) を2辺とする三角形のもう1辺は
\(\vec{a}-\vec{b}\) になります。
このとき，三角形に余弦定理を適用すると
\[ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}|\;|\vec{b}|\cos\theta \tag{1} \]一方で，\(\vec{a}-\vec{b}\) を成分で書くと
\[ \vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2,\; y_1 - y_2) \]なので，その長さの2乗は
\[ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \tag{2} \] となります。(2)式を展開すると
\[ \begin{aligned} |\vec{a} - \vec{b}|^2 &= (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \\ &= (x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2) + (y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2) \\ &= (x_1^2 + y_1^2) + (x_2^2 + y_2^2) - 2(x_1x_2 + y_1y_2) \end{aligned} \tag{3} \]ここで，ベクトルの長さは \(|\vec{a}|^2 = x_1^2 + y_1^2\)，\(|\vec{b}|^2 = x_2^2 + y_2^2\) なので
\[ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(x_1x_2 + y_1y_2) \tag{4} \] と書けます。(1)式と(4)式はどちらも \( |\vec{a} - \vec{b}|^2 \) を表していますから， 右辺が等しいはずです。つまり
\[ |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}|\;|\vec{b}|\cos\theta = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(x_1x_2 + y_1y_2) \]両辺から \(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2\) を消去すると
\[ - 2|\vec{a}|\;|\vec{b}|\cos\theta = - 2(x_1x_2 + y_1y_2) \] \[ |\vec{a}|\;|\vec{b}|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2 \]ここで左辺はまさに「なす角 \(\theta\) を用いた内積の定義」 \(\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\;|\vec{b}|\cos\theta\) ですから，結局
\[ \vec{a}\cdot\vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 \] となり，「成分の積の和」で内積が表せることが 余弦定理から証明できました。3次元の場合も同様で，\(\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)\)，\(\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)\) として \(|\vec{a}-\vec{b}|^2\) を \[ |\vec{a}-\vec{b}|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 \] と成分で計算し，余弦定理の式と比較すると，
\[ \vec{a}\cdot\vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \]が同じように導かれます。
三角形 \(ABC\) で位置ベクトルを \[ \overrightarrow{OA}=\vec{a},\; \overrightarrow{OB}=\vec{b},\; \overrightarrow{OC}=\vec{c} \] とすると \[ \overrightarrow{AB} = \vec{b}-\vec{a},\quad \overrightarrow{AC} = \vec{c}-\vec{a} \]
平面ベクトル \(\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(x_2,y_2)\) のとき，三角形の面積： \[ S = \frac{1}{2}\,\left|x_1y_2 - x_2y_1\right| \]
\[ \overrightarrow{OM} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \]
点 \(P\) が \(AP:PB=m:n\) に内分するとき \[ \overrightarrow{OP} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n} \]
\[ \overrightarrow{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \]
点 \(A\) を通り方向ベクトル \(\vec{d}\) をもつ直線は \[ \vec{p} = \vec{a} + t\vec{d} \]
\[ (x,y) = (x_1,y_1) + t(u,v) \] から一次方程式 \[ ax + by + c = 0 \] が得られる。