空間の点 \(A(x_1,y_1,z_1)\)，\(B(x_2,y_2,z_2)\) に対して， ベクトル \(\overrightarrow{AB}\) の成分は \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1) \]
空間ベクトル \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\) の大きさ（ノルム）は \[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]
空間ベクトル \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\)，\(\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\) に対して：
成分での定義： \[ \vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \]
なす角 \(\theta\) を用いた定義： \[ \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos\theta \]
したがって，なす角 \(\theta\) は \[ \cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} \]
直線上の一点 \(A(x_1,y_1,z_1)\) と方向ベクトル \(\vec{d}=(u,v,w)\) が与えられたとき， 直線上の点 \(P(x,y,z)\) は \[ (x,y,z) = (x_1,y_1,z_1) + t(u,v,w) \] と表される（\(t\) は実数）。
成分ごとに書くと \[ x = x_1 + tu,\quad y = y_1 + tv,\quad z = z_1 + tw \]
方向ベクトルが \((u,v,w)\neq\vec{0}\) であれば，この式で空間内の直線を表すことができる。
平面上の一点 \(A\) の位置ベクトルを \(\vec{a}\) とし， 平面上で互いに平行でない 2 つのベクトルを \(\vec{u},\vec{v}\) とすると，平面上の点 \(P\) の位置ベクトル \(\vec{p}\) は \[ \vec{p} = \vec{a} + s\vec{u} + t\vec{v} \] と表される（\(s,t\) は実数）。
平面の法線ベクトル（平面に垂直なベクトル）を \(\vec{n}=(A,B,C)\) とし， 平面上の一点 \(A(x_1,y_1,z_1)\) をとると， 平面上の点 \(P(x,y,z)\) に対して \[ \overrightarrow{AP} \cdot \vec{n} = 0 \] すなわち \[ A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0 \]
これを整理すると，一般形 \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] の方程式が得られる（\(D\) は定数）。
点 \(A(x_1,y_1,z_1)\)，\(B(x_2,y_2,z_2)\) の距離は \[ AB = \left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \]
三角形 \(ABC\) で \(\overrightarrow{AB}=\vec{u}\)，\(\overrightarrow{AC}=\vec{v}\) とする。 ベクトル積 \(\vec{u}\times\vec{v}\) の大きさは， \(\vec{u},\vec{v}\) を2辺とする平行四辺形の面積に等しいので， 三角形の面積 \(S\) は \[ S = \frac{1}{2}\,|\vec{u}\times\vec{v}| \]
3 つのベクトル \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) を辺にもつ 直方体の体積 \(V\) は \[ V = \left|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\right| \] となる。これはスカラー三重積と呼ばれる。
四面体の体積は，対応する直方体の体積の \(\dfrac{1}{6}\) になることも多く利用される。