隣り合う項の差が一定（公差 \(d\)）である数列： \[ a_{n+1} - a_n = d \]
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \]
公比 \(r\) に対し \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = r \]
\[ a_n = a_1 r^{n-1} \]
\(r \neq 1\) のとき \[ S_n = a_1 \frac{1-r^{n}}{1-r} \]
\[ a_{n+1} = pa_n + q \]
\[ \sum_{k=1}^{n} k = 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2} \]
\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
\[ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \]
\[ \sum_{k=1}^{n} (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_1 \]
\[ \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{k+1} \] よって \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} \]
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} kr^k \] のような形は \[ S_n - rS_n \] の操作により求める。
一般に，総和には以下の性質が成り立つ：
\[ \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k \]
\[ \sum_{k=1}^{n} c\,a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k \] （ここで \(c\) は定数）
\[ \sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 2k + 5) = 3\sum k^2 - 2\sum k + 5n \] のように「ばらして」計算する。
命題： \[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \]
基礎段階： \(n=1\) で成立。
帰納段階：
\(n=k\) で成立：
\[
\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}
\]
に \((k+1)\) を加えると
\[
\sum_{i=1}^{k+1} i
= \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)
= \frac{(k+1)(k+2)}{2}
\]
よって成立。
\[ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e \]