数を「行（row）」と「列（column）」で長方形状に並べたものを行列という。 例えば、2行3列の行列： \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \] これは「2×3行列」と呼ぶ。 :contentReference[oaicite:0]{index=0}
二つの行列 \(A=(a_{ij}), B=(b_{ij})\) が同じサイズ (m×n) のとき、 \[ A + B = (a_{ij} + b_{ij}),\quad A - B = (a_{ij} - b_{ij}) \] が定義される。 :contentReference[oaicite:1]{index=1}
行列 \(A=(a_{ij})\) に定数 \(k\) を掛けると \[ kA = (k a_{ij}) \] となる。 :contentReference[oaicite:2]{index=2}
\(A\) を m×n 行列、\(B\) を n×l 行列とすると、積 \(C = AB\) は m×l 行列で、各成分 \[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} \] で定義される。 :contentReference[oaicite:3]{index=3}
「左の列数 = 右の行数」である必要がある。サイズが一致しなければ積は定義されない。 :contentReference[oaicite:4]{index=4}
2×2 正方行列 \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] の行列式は \[ |A| = ad - bc \] である。 :contentReference[oaicite:6]{index=6}
n×n の正方行列 \(A\) に対して、ある行列 \(A^{-1}\) が存在し、 \[ AA^{-1} = A^{-1}A = I_n \] を満たすとき、これを \(A\) の逆行列という。
正方行列 \(A\) が逆行列をもつための必要十分条件は \(|A| \neq 0\)。 また、2×2 の場合 \[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] である。 :contentReference[oaicite:7]{index=7}
連立一次方程式 \[ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases} \] を行列形式で \[ A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \] のように書くことができる。
\(|A| \neq 0\) のとき、 \[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \] として解を求める。 :contentReference[oaicite:8]{index=8}
2×2 の正方行列は、平面上の点を別の点へ移す「線形変換」を表すことがある。 例えば角度 θ の回転を表す回転行列： \[ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \] など。 :contentReference[oaicite:9]{index=9}
点 \((x, y)\) を行列 \(A\) によって移すと \[ A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \] によって新しい点が得られる。図形の拡大・縮小・回転・平行移動（平行移動は別の手法）に応用される。 :contentReference[oaicite:10]{index=10}