微分積分学(解析学)
1. 極限と連続
(1) 極限の概念
\[
\lim_{x\to a} f(x) = L
\]
(2) ε–δ 定義
\[
\forall \varepsilon>0,\; \exists \delta>0,\;
|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
\]
(3) 連続の定義
\[
\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
\]
2. 微分法（大学版）
(1) 定義
\[
f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\]
(2) チェーンルール（合成関数）
\[
(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x)
\]
(3) 逆関数の微分
\[
(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}
\]
(4) 高階微分
\[
f'',\ f''',\ \dots
\]
(5) テイラー展開
\[
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots
\]
3. 【追加】代表的な微分公式（大学必須）
(1) 基本関数
- \(\displaystyle (x^n)' = nx^{n-1}\)
- \(\displaystyle (e^x)' = e^x\)
- \(\displaystyle (a^x)' = a^x \ln a\)
- \(\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}\)
(2) 三角関数
- \((\sin x)' = \cos x\)
- \((\cos x)' = -\sin x\)
- \((\tan x)' = \sec^2 x\)
(3) 逆三角関数
- \(\displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
- \(\displaystyle (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
- \(\displaystyle (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}\)
(4) 積・商の微分
- \((fg)' = f'g+fg'\)
- \(\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\)
4. 積分法（大学版）
(1) 微積分学の基本定理
\[
\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),\quad F'=f
\]
(2) 置換積分
\[
\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)\,du
\]
(3) 部分積分
\[
\int u\,dv = uv - \int v\,du
\]
(4) 広義積分（無限区間・特異点）
\[
\int_a^\infty f(x)\,dx
=\lim_{t\to\infty }\int_a^t f(x)\,dx
\]
5. 【追加】代表的な積分公式（大学必須）
(1) 基本公式
- \(\displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1)\)
- \(\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \ln|x|+C\)
- \(\displaystyle \int e^x dx = e^x + C\)
- \(\displaystyle \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
(2) 三角関数
- \(\displaystyle \int \sin x dx = -\cos x + C\)
- \(\displaystyle \int \cos x dx = \sin x + C\)
- \(\displaystyle \int \sec^2 x dx = \tan x + C\)
- \(\displaystyle \int \csc^2 x dx = -\cot x + C\)
- \(\displaystyle \int \sec x\tan x dx = \sec x + C\)
- \(\displaystyle \int \csc x\cot x dx = -\csc x + C\)
(3) 有理関数（部分分数分解）
例：
\[
\int \frac{1}{x^2-1}dx
=\frac12 \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| +C
\]
(4) 逆三角関数の積分
- \(\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C\)
- \(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C\)
6. 微分方程式（大学基礎）
(1) 分離形
\[
\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)
\Rightarrow
\int \frac{1}{g(y)}dy = \int f(x)\,dx
\]
(2) 1階線形微分方程式
\[
y' + P(x)y = Q(x)
\]
\[
y e^{\int P} = \int Q e^{\int P} + C
\]
7. 長さ・面積・体積（大学版）
(1) 弧長
\[
L=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx
\]
(2) 回転体体積
-
円板法
\[
V=\pi\int_a^b [f(x)]^2 dx
\]
-
シェル法
\[
V=2\pi\int_a^b x f(x)\,dx
\]
(3) 曲線間の面積
\[
\int_a^b (f(x)-g(x))dx
\]
8. 多変数の微分（大学導入）
(1) 偏微分
\[
\frac{\partial f}{\partial x},\quad
\frac{\partial f}{\partial y}
\]
(2) 勾配ベクトル
\[
\nabla f=
\left( f_x,\ f_y,\ f_z \right)
\]
(3) 接平面の方程式
\[
z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)
\]
9. 大学1年で身につけたい知識のまとめ
- 微分の定義 → チェーンルール → 高階微分
- 積分の技法：置換・部分積分・部分分数
- 三角関数・指数・対数の全微分公式を暗記
- 定積分の計算と広義積分の収束判定
- 微分方程式（分離形・線形）の一般解
- Taylor 展開による近似計算
- 長さ・面積・回転体体積の応用