集合 \(V\) が加法とスカラー倍について閉じており、 結合法則・分配法則・単位元・逆元を持つとき、 \(V\) を「ベクトル空間」という。
\[ c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = 0 \] の唯一解が \(c_i = 0\) のとき一次独立。
一次独立かつ空間を生成する集合を「基底」。 基底の個数を空間の「次元」と呼ぶ。
成分ごとに操作する。
\[ (AB)_{ij} = \sum_{k} A_{ik} B_{kj} \]
\[ A^{-1}A = AA^{-1} = I \] となる \(A\) を「正則行列」という。
\[ A x = b \]
\[ [A\ | \ b] \to [I\ | \ x] \]
\[ \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad - bc \]
行列式の絶対値＝体積の変換倍率。
上三角行列：
\[
a_{ij}=0 \quad (i>j)
\]
下三角行列：
\[
a_{ij}=0 \quad (i(2) 重要性
\[ A v = \lambda v \] \[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
\[ E_\lambda = \ker(A - \lambda I) \]
ベクトルが「伸縮されるだけで向きが変わらない方向」。
\[ A = P D P^{-1} \] と書けるとき、Aは「対角化可能」。
固有値に対して十分な一次独立な固有ベクトルが必要 （n×n 行列なら n 個）。
\[ T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(cu)=cT(u) \]
基底を固定すると、線形写像は必ず行列で表せる。
\[ \ker T = \{v \mid T(v)=0\} \] \[ \mathrm{Im}\,T = \{T(v)\mid v\in V\} \]
\[ \dim(\ker T) + \dim(\mathrm{Im}\,T) = \dim V \]
\[ \langle u,v\rangle = \sum u_i v_i,\qquad \|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle} \]
\[ \langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij} \]
任意の一次独立な集合から直交基底を作る方法。
多変数関数 \[ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m \] のヤコビ行列は、偏微分を並べた **m×n 行列**： \[ J_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} \] 線形近似・座標変換の基本。
スカラー関数 \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) の 2 階偏微分を並べた n×n 行列： \[ H_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix} \] 極値判定・多変数最適化の核となる。