各点に実数を対応させる関数 例：温度場 \(T(x,y,z)\)、電位 \(\phi(x,y,z)\)
各点にベクトルを対応させる関数 例：電場 \(\mathbf{E}(x,y,z)\)、流体速度 \(\mathbf{v}(x,y,z)\)
スカラー場 \(f(x,y,z)\) の勾配： \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \]
ベクトル場 \(\mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z)\) に対し \[ \nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \]
\[ \nabla\times\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \\ \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \\ \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \end{pmatrix} \]
\[ \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \]
\[ \int_C \mathbf{A}\cdot d\mathbf{r} \]
\[ \iint_S \mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} \]
\[ \iiint_V \rho\, dV \]
\[ \iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{A})\,dV = \iint_{\partial V} \mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} \]
\[ \iint_S (\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{S} = \int_{\partial S} \mathbf{A}\cdot d\mathbf{r} \]
座標変換 \((u,v,w) \to (x,y,z)\) のとき \[ J = \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \right| \] 体積要素が \[ dV = J\,du\,dv\,dw \] に変換される。
\[ dV = r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi \]
物理学では最も重要。電磁気では必須。
\[ \nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \] \[ \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} \]
ラプラシアン \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi \] が Schrödinger 方程式に登場。