\[ z = x + iy\quad (x,y\in\mathbb{R},\ i^2=-1) \]
x–y 平面にプロット。 絶対値：\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\) 偏角：\(\arg z\)
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \]
\[ f(z)=u(x,y)+iv(x,y) \]
\[ f'(z_0) = \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \]
ある領域で複素微分可能な関数を「正則」と呼ぶ。
\[ \frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{\partial v}{\partial x} \] を満たすとき、その点で f(z) は複素微分可能。
正則関数 f(z) は「角度を保存する写像」。
曲線 C に沿った積分： \[ \int_C f(z)\,dz \]
ある領域で正則であれば積分値は経路に依らない。
f(z) が領域 D で正則なら \[ \oint_{\partial D} f(z)\,dz = 0 \]
\[ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(z)}{z-a}\,dz \]
\[ f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz \]
\[ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-a)^n \]
\[ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n \]
Laurent 展開に負のべきが出ない。
\[ f(z) \sim \frac{A}{(z-a)^m} \] の形を持つ。
Laurent 展開に負の無限項を持つ。 （例）\(e^{1/z}\)
Laurent 展開の \((z-a)^{-1}\) の係数： \[ \operatorname{Res}(f,a)=c_{-1} \]
\[ \oint f(z)\,dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(f,a_k) \]
\[ (z-a)^m f(z) \] が正則で 0 でなければ m 次の極。
\[ \operatorname{Res}(f,a) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to a} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-a)^m f(z)] \]