未知関数とその微分を含む方程式。 例：\(\displaystyle \frac{dy}{dt} + y = 0\)
\[ \frac{dy}{dx} = f(x) g(y) \qquad \Rightarrow\qquad \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx \]
\[ \frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \] 積分因子： \[ \mu(x)= e^{\int P(x)\,dx} \]
\[ \frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)y^n \] 置換：\(v=y^{1-n}\)
\[ a y'' + b y' + c y = 0 \] 特性方程式： \[ a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 \]
\[ ay''+by'+cy = f(t) \] 解＝一般解（同次解）＋ 特解 特解は以下で求める：
\[ D = \frac{d}{dt} \] すると微分方程式は \[ (a D^2 + b D + c) y = f(t) \quad\Rightarrow\quad P(D) y = f(t) \]
\[ P(D) y = 0 \] は特性方程式 \[ P(\lambda)=0 \] と一致。
演算子の逆元を形式的に用いて \[ y_p = \frac{1}{P(D)} f(t) \] 例：\((D^2+\omega^2) y = \sin \omega t\) のとき \[ y_p = \frac{1}{D^2+\omega^2}\sin\omega t = \frac{1}{2i\omega} \left( \frac{e^{i\omega t}}{D+i\omega} - \frac{e^{-i\omega t}}{D-i\omega} \right) \]
\[ P(D) G(t) = \delta(t) \] の解 \(G(t)\) が **グリーン関数**。 一般解： \[ y(t) = \int G(t-\tau)\,f(\tau)\,d\tau \]
演算子法はラプラス変換の前段階・直感的理解に適している。
\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \]
\[ \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) \]
\[ ay'' + by' + cy = f(t) \quad\Rightarrow\quad (as^2+bs+c)Y(s)=F(s)+\text{初期値項} \]
\[ m x'' + k x = 0 \] 解：\(\omega=\sqrt{k/m}\)
\[ m x'' + \gamma x' + kx = 0 \]
\[ m x'' + \gamma x' + kx = F_0 \cos \omega t \] → 共振現象が生じる。
\[ L i'' + R i' + \frac{1}{C} i = V_s(t) \]
\[ (p(x) y')' + (\lambda w(x)) y = 0 \]
\[ \int y_m(x) y_n(x) w(x) dx = 0\ (m\ne n) \]
\[ L G(x,s) = \delta(x-s) \]
\[ y(x)=\int G(x,s)\,f(s)\,ds \]