周期 \(2\pi\) の関数 \(f(x)\) は \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) \]
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx \]
不連続点付近で 9% 程度のオーバーシュートが生じる現象。
\[ \mathcal{F}[f(t)] = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt \]
\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega \]
信号の周波数成分を解析する重要な手法。
\[ \mathcal{F}(af + bg) = aF + bG \]
\[ \mathcal{F}[f'(t)] = i\omega F(\omega) \] → 微分方程式が代数方程式に変換される。
\[ \mathcal{F}[f * g] = F(\omega)G(\omega) \] \[ (f*g)(t)=\int f(\tau)g(t-\tau)d\tau \]
\[ \mathcal{F}[f(t-t_0)] = e^{-i\omega t_0}F(\omega) \]
\[ f(t)=e^{-t^2/2\sigma^2} \quad\Rightarrow\quad F(\omega)=\sigma\sqrt{2\pi} e^{-\sigma^2\omega^2/2} \] （自己相似性）
\[ \mathcal{F}[\text{rect}(t/T)] = T\,\text{sinc}\left(\frac{\omega T}{2}\right) \]
\[ \mathcal{F}[\delta(t)] = 1 \] \[ \mathcal{F}[1] = 2\pi\delta(\omega) \]
\[ u_{tt}=c^2 u_{xx} \] x 方向をフーリエ変換すると \[ \tilde{u}_{tt} + c^2 k^2 \tilde{u} = 0 \] → 各 k について調和振動。
\[ u_t = \alpha u_{xx} \] フーリエ変換で \[ \tilde{u}_t = -\alpha k^2 \tilde{u} \] → 指数的減衰。
\[ \mathcal{F}[D f] = i\omega F(\omega) \] → 周波数応答 \(H(\omega)\) を直接解析可能。
\[ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i2\pi kn/N} \]
\[ x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{i2\pi kn/N} \]
計算量 \[ N^2 \to N\log N \] 物理実験データ解析や電子工学で必須。
\[ \mathcal{F}[\delta(t-t_0)] = e^{-i\omega t_0} \]
無限のパルス列： \[ \sum_n \delta(t-nT) \] のフーリエ変換は \[ \frac{2\pi}{T}\sum_m \delta(\omega - 2\pi m/T) \]
\[ R(\tau) = \int f(t) f(t+\tau)\,dt \]
\[ S(\omega) = \mathcal{F}[R(\tau)] \] （ウィーナー・ヒンチン定理）