\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt \] （片側ラプラス変換）
\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} F(s)e^{st}\,ds \] （Bromwich 積分）
\[ \mathcal{L}\{af+bg\} = aF + bG \]
\[ \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) \] \[ \mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0) \] 初期条件が自然に含まれる。
\[ \mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\} = \frac{1}{s} F(s) \]
\[ \mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s) \]
\[ \mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s-a) \]
\[ (f*g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau \]
\[ \mathcal{L}\{f*g\} = F(s)G(s) \]
\[ y' + ay = b \] 変換すると \[ (s+a)Y(s)=b + y(0) \] よって \[ Y(s)=\frac{b}{s(s+a)} + \frac{y(0)}{s+a} \]
\[ y'' + 2\gamma y' + \omega_0^2 y = 0 \] → s 平面で極を調べられる。
\[ y'' + \omega_0^2 y = F_0 \cos \omega t \] ラプラス変換で簡単に特解が出る。
\[ RC\,v' + v = V_s(t) \] ラプラス変換： \[ (RC s + 1)V(s) = V_s(s) + RC\,v(0) \]
\[ L i' + R i = V_s \]
\[ L i'' + R i' + \frac{1}{C} i = V_s(t) \] ラプラス変換： \[ (Ls^2 + Rs + 1/C) I(s) = V_s(s) + \text{初期値項} \]
RLC の極が - 実数 → 過減衰 - 実重根 → 臨界減衰 - 複素共役 → 減衰振動
LTI 系の伝達関数： \[ G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} \]
RC ローパスフィルタ： \[ G(s)=\frac{1}{1+RC s} \]
\[ G(i\omega) \] を見ればフィルタ特性が分かる。
\[ \frac{1}{(s+a)(s+b)} = \frac{1}{b-a} \left( \frac{1}{s+a} - \frac{1}{s+b} \right) \]
\[ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\} = e^{-at} \]