ガンマ関数は階乗の連続的拡張で、実部が正の複素数 \(s\) に対して \[ \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t}\,dt \qquad (\Re(s) > 0) \] と定義される。
自然数 \(n\) について \[ \Gamma(n) = (n-1)! \] が成り立つ。
部分積分により \[ \Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s) \] が得られる。これにより \(\Gamma(s)\) を \(s\) の小さい値から大きい値へと延長できる。
ガウス積分を用いて \[ \Gamma\left(\frac12\right) = \sqrt{\pi} \] を得る。したがって \[ \Gamma\left(\frac{1}{2} + n\right) = \frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt{\pi} \quad (n\in\mathbb{N}) \] なども導出できる。
\[ \Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin(\pi s)} \] は複素解析で重要な恒等式。
ベータ関数は \[ B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt \qquad (\Re(x),\Re(y)>0) \] で定義される。
変数変換などにより \[ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \] が成り立つ。
ガウス積分の不完全積分として \[ \mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}\,dt \] と定義する。
補誤差関数 \[ \mathrm{erfc}(x) = 1 - \mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,dt \] もよく用いられる。
\(-1 \le x \le 1\) で定義されるルジャンドル方程式： \[ (1-x^2)\,y''(x) - 2x\,y'(x) + l(l+1)y(x) = 0, \qquad l=0,1,2,\dots \]
ルジャンドル多項式は \[ P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{d^l}{dx^l}(x^2 - 1)^l \] で与えられる。
具体的には \[ P_0(x) = 1,\quad P_1(x) = x,\quad P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1), \] \[ P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3-3x),\quad P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3) \] など。
\([-1,1]\) における直交性： \[ \int_{-1}^{1} P_l(x)P_{l'}(x)\,dx = \frac{2}{2l+1}\delta_{ll'}. \]
この直交性により、\([-1,1]\) 上の関数を ルジャンドル多項式で展開することができる（多極展開など）。
ルジャンドル多項式は以下の再帰関係を満たす： \[ (l+1)P_{l+1}(x) = (2l+1)xP_l(x) - lP_{l-1}(x). \]
\(m=0,1,\dots,l\) に対して \[ P_l^m(x) = (-1)^m (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} P_l(x). \]
付随ルジャンドル多項式は \[ (1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + \left[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]y = 0 \] を満たす。
固定された \(m\) に対して \[ \int_{-1}^{1} P_l^m(x)P_{l'}^m(x)\,dx \propto \delta_{ll'} \] が成り立つ（適切な正規化定数をつける）。
球面座標 \((\theta,\phi)\) において \[ Y_l^m(\theta,\phi) = N_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{i m \phi}, \quad l=0,1,2,\dots,\quad m=-l,\dots,l \] で定義される。
正規化定数の一例： \[ N_{lm} = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}. \]
球面上での直交性： \[ \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi} Y_l^m(\theta,\phi)\,Y_{l'}^{m'*}(\theta,\phi) \sin\theta\,d\theta\,d\phi = \delta_{ll'}\delta_{mm'}. \]
任意の球面上の関数は \[ f(\theta,\phi) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} a_{lm} Y_l^m(\theta,\phi) \] と展開できる（適当な条件のもと）。
一般化ベッセル方程式： \[ x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0. \]
級数表示： \[ J_{\nu}(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}. \]
独立な解として定義される。整数次数の場合は \[ Y_n(x) = \lim_{\nu\to n} \frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)} \] などで与えられる。
\[ J_{\nu-1}(x) + J_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x}J_{\nu}(x), \qquad J_{\nu-1}(x) - J_{\nu+1}(x) = 2 J_{\nu}'(x) \] など、多くの再帰・微分公式を満たす。
半径 \(a\) の円板で、境界条件から \(J_0(\alpha_n r/a)\) が現れる場合、 \[ \int_0^{a} r J_0\left(\frac{\alpha_m r}{a}\right) J_0\left(\frac{\alpha_n r}{a}\right) dr = 0\quad (m\ne n) \] などの直交性を持つ（\(\alpha_n\) はゼロ点）。
通常のベッセル関数から \[ j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,J_{l+\frac12}(x), \qquad y_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,Y_{l+\frac12}(x) \] と定義される。
\[ j_0(x) = \frac{\sin x}{x}, \qquad j_1(x) = \frac{\sin x}{x^2} - \frac{\cos x}{x}, \] \[ j_2(x) = \left(\frac{3}{x^2}-1\right)\frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x}{x^2} \] など。
球対称系での波動方程式やヘルムホルツ方程式の動径部分： \[ x^2 y'' + 2x y' + (x^2 - l(l+1))y = 0 \] の解として \(j_l(x), y_l(x)\) が現れる。
\[ y''(x) - 2x\,y'(x) + 2n\,y(x) = 0, \quad n=0,1,2,\dots \] の解がエルミート多項式 \(H_n(x)\)。
\[ H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}. \]
具体的には \[ H_0(x)=1,\quad H_1(x)=2x,\quad H_2(x)=4x^2-2, \] \[ H_3(x)=8x^3-12x,\quad H_4(x)=16x^4-48x^2+12 \] など。
重み関数 \(e^{-x^2}\) に関して \[ \int_{-\infty}^{\infty} H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}\,2^n n!\,\delta_{nm}. \]
質量 \(m\)、角振動数 \(\omega\) の調和振動子の定常状態波動関数は \[ \psi_n(x) = N_n e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}} H_n\!\left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,x \right), \] となり、エルミート多項式が自然に現れる。
\[ x y''(x) + (1-x) y'(x) + n y(x) = 0, \quad n=0,1,2,\dots \]
\[ L_n(x) = \frac{e^{x}}{n!} \frac{d^n}{dx^n}\bigl(e^{-x}x^n\bigr). \]
具体的には \[ L_0(x)=1,\quad L_1(x)=1-x,\quad L_2(x)=\frac12(x^2-4x+2), \] など。
\(\alpha > -1\) に対して \[ L_n^{(\alpha)}(x) = \frac{x^{-\alpha} e^{x}}{n!} \frac{d^n}{dx^n} \bigl(e^{-x}x^{n+\alpha}\bigr) \] と定義される。
\[ \int_0^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)\,dx = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\,\delta_{nm}. \]
\[ y''(x) - x y(x) = 0 \] を満たす独立な 2 つの解を \(\mathrm{Ai}(x)\), \(\mathrm{Bi}(x)\) と呼ぶ。
\(\mathrm{Ai}(x)\) の一つの積分表示： \[ \mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\,dt. \]
\(x\to +\infty\) のとき \[ \mathrm{Ai}(x) \sim \frac{1}{2\sqrt{\pi}} x^{-1/4} e^{-\frac{2}{3}x^{3/2}}, \] \[ \mathrm{Bi}(x) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi}} x^{-1/4} e^{\frac{2}{3}x^{3/2}}. \]
多くの特殊関数は次の形の固有値問題の解として現れる： \[ \frac{d}{dx}\bigl(p(x)y'(x)\bigr) + \bigl(\lambda w(x) - q(x)\bigr)y(x) = 0, \] ここで \(p(x), w(x) > 0\) が与えられた関数、\(\lambda\) が固有値。
異なる固有値 \(\lambda_n,\lambda_m\) に対応する固有関数 \(y_n, y_m\) は 重み \(w(x)\) に関して直交： \[ \int y_n(x) y_m(x) w(x)\,dx = 0\quad (n\ne m). \]
さらに、適当な条件のもとで、関数を固有関数の級数展開として表すことができる（完全性）。