確率論の基礎は 3 つの組から成る： \[ (\Omega, \mathcal{F}, P) \] ここで ・\(\Omega\)：標本空間 ・\(\mathcal{F}\)：事象（集合族） ・\(P\)：確率測度（0 ≤ P ≤ 1）
\[ X : \Omega \to \mathbb{R} \] を満たす写像。 任意の実数 \(x\) について \[ P(X \le x) \] として確率を定義できる。
連続型： \[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx, \qquad \mathrm{Var}(X) = \int (x - E[X])^2 f(x)\,dx. \]
\[ \mathrm{Cov}(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] \] \[ \rho_{XY} = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)} {\sigma_X\sigma_Y} \]
\[ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
\[ P(A) = \sum_i P(A|B_i)P(B_i) \]
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)} {\sum_i P(B|A_i)P(A_i)} \]
\[ P(X=k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \]
\[ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
\[ f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, \quad x\ge0 \] 平均寿命 \(\tau=1/\lambda\)。
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \]
\[ f(x) = \frac{1}{\Gamma(k)\theta^k} x^{k-1}e^{-x/\theta} \]
自由度 \(k\) の χ² 分布： \[ f(x) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)} x^{k/2-1} e^{-x/2} \]
\(n\) 次元ベクトル \(x\) について \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n \det \Sigma}} \exp\left( -\frac12 (x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu) \right) \] ここで \(\Sigma\) は共分散行列。
2 次元の場合、等確率曲線は \[ (x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu)=\text{const.} \] で与えられ、楕円形となる。 → 実験データの誤差解析でよく使う。
\[ \mu_n = E[X^n] \] 中心モーメント： \[ \mu_n' = E[(X-E[X])^n] \]
\[ M_X(t) = E[e^{tX}] \] \[ M_X^{(n)}(0) = E[X^n] \]
\[ \phi_X(\omega) = E[e^{i\omega X}], \] 分布を完全に決定する。
独立同分布で分散が有限なら \[ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k \to E[X] \] （確率 1 で収束）
\[ \frac{\sum X_k - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \xrightarrow[]{d} N(0,1) \] → 多くの物理量がガウス分布になる理由。
尤度関数 \[ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i|\theta) \] を最大化する \(\hat\theta\) を求める。
平均： \[ \hat\mu = \frac1n\sum x_i \] 分散（不偏）： \[ \hat\sigma^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i-\hat\mu)^2 \]
\[ \chi^2 = \sum_i \frac{(y_i - f(x_i))^2}{\sigma_i^2} \] を最小にするパラメータを求める。
\[ X=\sum_{i=1}^k Z_i^2,\quad Z_i\sim N(0,1) \] が従う分布。
\[ t=\frac{Z}{\sqrt{X/k}} \]
\[ F=\frac{(X/k)}{(Y/m)} \] で定義される。
\[ P(X_{n+1}=x | X_n, X_{n-1},\dots) = P(X_{n+1}=x | X_n) \]
イベント発生が独立で一定の平均レート λ のとき： \[ P(N(t)=k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!} \]
\[ W(t) \sim N(0, t) \]