微分幾何は「滑らかな曲線・曲面・高次元多様体の微分構造を扱う数学」であり、 物理学の多くの分野で中心的役割を果たす：
以下ではまず **曲線 → 曲面 → 高次元多様体** の順でまとめる。
空間曲線を \[ \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) \] と表し、弧長パラメータ \(s\) を使うと \[ \left|\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right| = 1. \]
接ベクトル： \[ \mathbf{T} = \frac{d\mathbf{r}}{ds} \] 法線ベクトル： \[ \mathbf{N} = \frac{d\mathbf{T}/ds}{\|d\mathbf{T}/ds\|} \] 従法線（バイノーマル）： \[ \mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N} \]
曲率： \[ \kappa = \left\| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\| \] 捩率： \[ \tau = -\frac{d\mathbf{B}}{ds}\cdot \mathbf{N} \]
\[ \frac{d}{ds} \begin{pmatrix} \mathbf{T} \\ \mathbf{N} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{T} \\ \mathbf{N} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix} \]
曲面を \[ \mathbf{r}(u,v) \] とパラメータ表示する。
\[ E = \mathbf{r}_u\cdot \mathbf{r}_u, \quad F = \mathbf{r}_u\cdot \mathbf{r}_v, \quad G = \mathbf{r}_v\cdot \mathbf{r}_v \] \[ ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2 \]
\[ \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u\times \mathbf{r}_v}{ \|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\| } \]
\[ e = \mathbf{r}_{uu}\cdot \mathbf{n},\quad f = \mathbf{r}_{uv}\cdot \mathbf{n},\quad g = \mathbf{r}_{vv}\cdot \mathbf{n} \]
主曲率 \(k_1,k_2\) により \[ H = \frac{k_1 + k_2}{2},\quad K = k_1 k_2. \]
ガウス曲率： \[ K = \frac{eg - f^2}{EG - F^2} \] 平均曲率： \[ H = \frac{1}{2} \frac{E g + G e - 2F f}{E G - F^2} \]
曲面上で「最短距離」を与える曲線は、作用 \[ S = \int ds \] を最小化して得られる。
計量 \[ ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j \] を用いると、 測地線は \[ \frac{d^2 x^k}{ds^2} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{ds} \frac{dx^j}{ds} = 0 \]
計量 \(g_{ij}\) に対して \[ \Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \partial_i g_{jl} +\partial_j g_{il} -\partial_l g_{ij} \right) \]
\(n\) 次元多様体は局所的に \(\mathbb{R}^n\) と同相な空間。 座標系 \((x^1,\dots,x^n)\) を導入できる。
(r,s)-型テンソルは r 回反変・s 回共変の線形写像で、成分は \[ T^{i_1\cdots i_r}{}_{j_1 \cdots j_s} \] の形をとる。
ベクトル場 \(V^i\) の共変微分は \[ \nabla_j V^i = \partial_j V^i + \Gamma^i_{jk} V^k \] 共変成分は \[ \nabla_j V_i = \partial_j V_i - \Gamma^k_{ji} V_k. \]
\[ R^i{}_{jkl} = \partial_k \Gamma^i_{jl} - \partial_l \Gamma^i_{jk} + \Gamma^i_{km}\Gamma^m_{jl} - \Gamma^i_{lm}\Gamma^m_{jk} \]
\[ R_{jl} = R^i{}_{jil} \]
\[ R = g^{jl} R_{jl} \]
1-形式： \[ \omega = \omega_i dx^i \] k-形式： \[ \omega = \frac{1}{k!} \omega_{i_1\cdots i_k} dx^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \]
\[ d\omega = (\partial_j \omega_i)\, dx^j\wedge dx^i \] 性質： \[ d(d\omega)=0 \]
4 次元の電磁テンソルは 2-形式： \[ F = dA \] Maxwell 方程式の一部は \[ dF = 0 \] としてコンパクトに書ける。