多様体（Manifold）は「局所的にはユークリッド空間のように見える空間」であり、 現代物理学のほぼすべての分野で基本的な概念となる。
多様体は「座標に依存しない物理」を書くための言語である。
n 次元多様体 M の点 p の近くが、ユークリッド空間 \(\mathbb{R}^n\) と同相になるとき、 局所座標（チャート） \[ (U, \varphi),\quad \varphi:U\to \mathbb{R}^n \] をとることができる。
多様体全体を覆うチャートの集合 \(\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}\) をアトラスと呼ぶ。
チャート間の遷移写像 \[ \varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n \] が全て滑らか（無限回微分可能）なら、M を滑らかな多様体と呼ぶ。
\(C^\infty\) 多様体 \(M,N\) の間の写像 \[ f:M\to N \] は、局所座標でみたとき滑らかであればよい。
接ベクトル \(X_p\in T_pM\) に対して \[ f_*:T_pM \to T_{f(p)}N \] をプッシュフォワードという。
k-形式 \(\omega\in\Omega^k(N)\) に対して \[ f^* \omega \in \Omega^k(M) \] が定義される。
曲線 \(\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to M\) に対し \[ X_p(f) = \left.\frac{d}{dt} f(\gamma(t))\right|_{t=0} \] と定義される作用素が接ベクトル。
点 p における接ベクトル全体の空間を \[ T_pM \] と呼ぶ。n 次元多様体なら \(\dim T_pM = n\)。
全ての接空間を束ねたもの： \[ TM = \bigsqcup_{p\in M} T_pM \]
\[ \omega = \frac{1}{k!}\, \omega_{i_1\cdots i_k}\, dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} \]
k-形式 \(\omega\) に対し \[ d\omega = \sum_i \partial_i \omega \wedge dx^i \] をみたす唯一の写像。
\[ \int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega \] 一般の Gauss・Stokes・Green の定理を含む。
計量とは \[ g_{ij}(p) \] で与えられる内積で、距離を定義する。
多様体に滑らかな計量が入ったものをリーマン多様体という。
\[ ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j \]
\[ \Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij} \right) \]
\[ \nabla_j V^i = \partial_j V^i + \Gamma^i_{jk}V^k \]
\[ \frac{d^2 x^k}{ds^2} + \Gamma^k_{ij}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds} = 0 \]
\[ R^i{}_{jkl} = \partial_k \Gamma^i_{jl} - \partial_l \Gamma^i_{jk} + \Gamma^i_{km}\Gamma^m_{jl} - \Gamma^i_{lm}\Gamma^m_{jk} \]
\[ R_{jl} = R^i{}_{jil},\quad R = g^{jl}R_{jl} \]
群構造と滑らかな多様体構造を同時にもつもの： \[ G = SU(2),\ SO(3),\ U(1),\ SL(2,\mathbb{R}) \dots \]
単位元近傍で \[ g(\epsilon) = e + \epsilon X + O(\epsilon^2) \] を満たす生成子全体が Lie 代数。