等速直線運動をしている座標系を 慣性系 と呼ぶ。 力学の基本法則（ニュートンの法則）は慣性系で成り立つと仮定する。
第1法則（慣性の法則）： 外力が働かない物体は静止または等速直線運動を続ける。
第2法則（運動方程式）： \[ \mathbf{F} = m\mathbf{a} = m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} \]
第3法則（作用・反作用の法則）： \[ \mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21} \]
物体のサイズや内部構造を無視し、質量だけを持つ点として扱う近似を質点という。
質点の位置 \(\mathbf{r}(t)\)、速度 \(\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}\)、加速度 \(\mathbf{a}=\ddot{\mathbf{r}}\) に対して \[ m\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t). \]
例：長さ一定の糸、接触面上の運動など。 拘束は一般に \[ f(\mathbf{r},t)=0 \] の形で表される。拘束を保つために生じる力を 拘束力（反力） と呼ぶ。
x 軸上の運動なら \[ m\ddot{x} = F(x,\dot{x},t) \] となり、1 次元の微分方程式として解析できる。
運動量： \[ \mathbf{p} = m\mathbf{v} \] 力積： \[ \mathbf{I} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\,dt \]
系に働く外力の総和が 0 のとき、 \[ \frac{d\mathbf{P}}{dt} = 0,\quad \mathbf{P} = \sum_i m_i\mathbf{v}_i \] となり、全運動量が保存する。
位置 x のみに依存する力 \(F(x)\) のもとで \[ m\ddot{x} = F(x). \]
両辺に速度 \(\dot{x}\) を掛ける： \[ m\ddot{x}\,\dot{x} = F(x)\,\dot{x}. \] 左辺は \[ m\ddot{x}\,\dot{x} = m\frac{d\dot{x}}{dt}\dot{x} = m\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\dot{x}^2) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2\right). \] 右辺は \[ F(x)\dot{x} = F(x)\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\int^x F(x')\,dx'\right). \]
よって \[ \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \int^x F(x')\,dx' \right) = 0. \] 積分の中身をポテンシャルエネルギー \[ U(x) = -\int^x F(x')\,dx' \] とおけば \[ \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + U(x) = E = \text{const.} \] が得られ、これがエネルギー保存の式である。
下向きを正とし、 \[ m\ddot{y} = mg \] に \(\dot{y}\) を掛けると \[ \frac{1}{2}m\dot{y}^2 - mgy = \text{const.} \] となる。 通常は上向きを正にとり、ポテンシャルを \[ U(y) = mgy \] とすると \[ \frac{1}{2}m\dot{y}^2 + mgy = E \] となる。
仕事： \[ W = \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \] 運動エネルギー： \[ T = \frac{1}{2}mv^2. \] ニュートンの運動方程式から \[ W = \Delta T \] が導かれる（仕事–エネルギー定理）。
経路によらず仕事が位置のみによって決まるとき、保存力と呼び、 \[ \mathbf{F} = -\nabla U(\mathbf{r}) \] とポテンシャルエネルギー U を定義できる。
保存力のみが働くとき \[ E = T + U = \text{const.} \]
力を保存力 \(\mathbf{F}_{\text{cons}}\) と非保存力 \(\mathbf{F}_{\text{nc}}\) に分ける： \[ \mathbf{F} = \mathbf{F}_{\text{cons}} + \mathbf{F}_{\text{nc}}. \]
運動方程式に速度を掛けると \[ \frac{d}{dt}\left(T + U\right) = \mathbf{F}_{\text{nc}}\cdot\mathbf{v}. \] 左辺は力学的エネルギーの時間変化、右辺は非保存力による仕事率（散逸や外部からの供給）である。
例えば速度に比例する抵抗力 \[ \mathbf{F}_{\text{nc}} = -\gamma \mathbf{v} \] では \[ \mathbf{F}_{\text{nc}}\cdot\mathbf{v} = -\gamma v^2 \le 0 \] となり、力学的エネルギーが時間とともに減少する（熱などへ散逸）。
y 軸を上向き正、重力加速度 g を下向きとすると \[ m\ddot{y} = -mg. \]
初期条件 \(y(0)=y_0,\ \dot{y}(0)=v_0\) で解くと \[ \dot{y}(t) = v_0 - gt, \] \[ y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2. \]
ポテンシャルエネルギー \(U=mgy\)、運動エネルギー \(T=\frac12 m\dot{y}^2\) に対して \[ \frac12 m\dot{y}^2 + mgy = E \] が常に一定である。
簡単なモデルとして、速度に比例する抵抗力 \[ F_{\text{drag}} = -k v \] を考える（v は下向き速度、k>0）。
下向きを正にとると \[ m\frac{dv}{dt} = mg - kv. \]
一次方程式として解くと \[ v(t) = v_{\infty} + \left(v_0 - v_{\infty}\right) e^{-(k/m)t}, \quad v_{\infty} = \frac{mg}{k} \] を得る。\(v_{\infty}\) は 終端速度 と呼ばれる。
速度を積分して位置を求めると \[ y(t) = y_0 + v_{\infty} t + \frac{m}{k} \left(v_0 - v_{\infty}\right) \left(1 - e^{-(k/m)t}\right). \]
抵抗力は \[ P_{\text{drag}} = F_{\text{drag}} v = -kv^2 \le 0 \] となり、力学的エネルギーは時間とともに減少し、その分が空気との摩擦熱として失われる。
より現実的には、高速領域で \[ F_{\text{drag}} = -k v|v| \] と近似される（v>0 を下向きとする場合は \(-kv^2\)）。
\[ m\frac{dv}{dt} = mg - kv^2. \]
定常状態 \(dv/dt=0\) から \[ mg - kv^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_{\infty} = \sqrt{\frac{mg}{k}}. \]
変数分離で \[ \int \frac{dv}{g - (k/m)v^2} = t + C \] となり、双曲線関数を用いた解 \[ v(t) = v_{\infty} \tanh\left(\frac{g t}{v_{\infty}} + C'\right) \] などが得られる（初期条件で定数が決まる）。
抵抗力があるため、エネルギー積分で \[ \frac{d}{dt}(T+U) = F_{\text{drag}} v = -kv^3 \] となり、力学的エネルギーは時間とともに単調減少する。
中心 O に対する位置ベクトル \(\mathbf{r}\) にのみ依存する力： \[ \mathbf{F} = f(r)\mathbf{e}_r,\quad r = |\mathbf{r}|. \]
モーメント \(\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}=0\) なので \[ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = 0,\quad \mathbf{L} = \mathbf{r}\times m\mathbf{v} \] が保存する。
極座標で考えると、動径方向の運動は \[ \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + U_{\text{eff}}(r) = E, \] \[ U_{\text{eff}}(r) = U(r) + \frac{L^2}{2mr^2} \] となり、1 次元のエネルギー積分として解析できる。
\[ U(r) = -\frac{k}{r} \] の場合、軌道は円・楕円・放物線・双曲線となる。
角速度ベクトル \(\vec{\Omega}\) で回転する座標系では \[ \vec{a} = \vec{a}' + 2\vec{\Omega}\times\vec{v}' + \vec{\Omega}\times(\vec{\Omega}\times\vec{r}) + \dot{\vec{\Omega}}\times\vec{r}. \]
剛体の角運動量： \[ \vec{L} = I\,\vec{\omega} \]
固有軸での慣性モーメント \(I_1, I_2, I_3\) を用いると、Euler方程式 \[ I_1\dot{\omega}_1 = (I_2-I_3)\omega_2\omega_3 + N_1 \] などが得られる。
速度場 \(\vec{v}\) と密度 \(\rho\) に対して \[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec{v}) = 0 \] （連続の式） \[ \rho\left( \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \right) = - \nabla p + \rho\vec{f} \] （オイラー方程式）。