電磁気学は、電荷・電流とそれがつくる電場 \(\mathbf{E}\)、磁場 \(\mathbf{B}\) の法則を扱う学問であり、 Maxwell 方程式により統一的に記述される。
真空中で距離 \(r\) だけ離れた点電荷 \(q_1,q_2\) の間に働く力： \[ \mathbf{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}, \] ここで \(\hat{\mathbf{r}}\) は力の向きの単位ベクトル。
試験電荷 \(q\) が受ける力から電場 \(\mathbf{E}\) を \[ \mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q} \] と定義する。
原点にある点電荷 \(Q\) による電場は \[ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}. \]
連続電荷分布 \(\rho(\mathbf{r})\) による電場は \[ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \rho(\mathbf{r}') \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3} \,d^3 r'. \]
任意の閉曲面 S について \[ \oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}, \] 右辺は面 S で囲まれた総電荷。
\[ \nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}. \]
電荷密度 \(\rho(\mathbf{r},t)\) と電流密度 \(\mathbf{J}(\mathbf{r},t)\) は \[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0 \] を満たす。 これは電荷が湧き出したり消滅したりしないことを表す。
電場が静電場で回転がゼロ（\(\nabla\times\mathbf{E}=0\)）のとき、 スカラー電位 \(\phi\) が存在して \[ \mathbf{E} = -\nabla\phi \] と書ける。
ガウスの法則と電位の定義から \[ \nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \] （ポアソン方程式）が得られる。
電荷のない領域では \[ \nabla^2 \phi = 0 \] となる（ラプラス方程式）。
電荷 \(Q\)、電位差 \(V\) のとき \[ Q = C V \] をみたす比例定数 \(C\) を容量と呼ぶ。
板面積 S、板間距離 d、誘電率 \(\varepsilon\) のとき \[ C = \varepsilon \frac{S}{d}. \]
電場に蓄えられたエネルギー密度は \[ u_E = \frac{1}{2}\varepsilon |\mathbf{E}|^2. \]
分極ベクトル \(\mathbf{P}\) を用いて \[ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}. \] 線形・等方・均一な誘電体では \[ \mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E},\quad \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r. \]
面 S を流れる電流 I は \[ I = \int_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}, \] ここで \(\mathbf{J}\) は電流密度。
導体中では局所的に \[ \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E} \] と書かれる（\(\sigma\)：導電率）。
定常電流 \(\mathbf{J}\) が磁場 \(\mathbf{B}\) をつくる。 基本法則はビオ・サバールの法則・アンペールの法則で与えられる。
電流要素 \(I d\mathbf{\ell}'\) による磁場の寄与： \[ d\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} I\,\frac{d\mathbf{\ell}'\times (\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}. \]
閉曲線 C に沿う線積分： \[ \oint_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}} \] （静磁場の場合）。
\[ \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} \] （静磁場）。 時間変化する電場がある場合は Maxwell の補正項が加わる（後述）。
磁荷は存在しないとされ、 \[ \nabla\cdot\mathbf{B} = 0. \]
単位体積あたりの磁気モーメントを磁化 \(\mathbf{M}\) と呼ぶ。
\[ \mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}). \] 線形・等方な媒質では \[ \mathbf{B} = \mu \mathbf{H},\quad \mu = \mu_0 \mu_r. \]
面 S を貫く磁束： \[ \Phi_B = \int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}. \] Faraday の電磁誘導の法則： \[ \oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt}. \]
誘導起電力は、その原因となる磁束の変化を打ち消す向きに生じる。
電流 I による磁束 \(\Phi_B = L I\) を自己インダクタンス L と定義する。 コイルに蓄えられるエネルギー： \[ U_B = \frac{1}{2} L I^2. \]
\[ \nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \] \[ \nabla\cdot\mathbf{B} = 0 \] \[ \nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \] \[ \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \] 最後の項 \(\mu_0\varepsilon_0 \partial\mathbf{E}/\partial t\) が 「変位電流」であり、電荷保存則と整合的にするために必要な補正である。
\[ \oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} \] \[ \oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0 \] \[ \oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} \] \[ \oint_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = \mu_0 I_{\text{in}} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}. \]
電荷・電流がない領域で Maxwell 方程式を組み合わせると、 \(\mathbf{E},\mathbf{B}\) はそれぞれ \[ \nabla^2\mathbf{E} - \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} = 0, \] \[ \nabla^2\mathbf{B} - \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2} = 0 \] を満たす。
ここから波の伝搬速度 \[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \] が得られ、これは真空中の光速と一致する。
例として z 方向に進む平面波： \[ \mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_0 \cos(kz - \omega t + \delta), \] \[ \mathbf{B}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{c}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}(\mathbf{r},t). \]
\[ u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 |\mathbf{E}|^2 + \frac{1}{2\mu_0}|\mathbf{B}|^2. \]
エネルギー流の密度は \[ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}. \]
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}. \] 右辺は電流が単位時間・単位体積あたりに受け取る仕事率であり、 電磁場のエネルギー保存を表す。
一般に電場と磁場は \[ \mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}, \] \[ \mathbf{E} = -\nabla\phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} \] と書ける。
任意のスカラー関数 \(\chi(\mathbf{r},t)\) に対し \[ \mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla\chi,\quad \phi' = \phi - \frac{\partial\chi}{\partial t} \] と変換しても \(\mathbf{E},\mathbf{B}\) は変わらない。
時空座標： \[ x^\mu = (ct,\mathbf{x}), \] 4元ポテンシャル： \[ A^\mu = \left(\frac{\phi}{c},\mathbf{A}\right). \]
電場・磁場を一体として表す 2 階反対称テンソル \(F^{\mu\nu}\) を導入すると、 Maxwell 方程式のうち 2 つは \[ \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu \] とコンパクトに書ける（\(J^\nu\)：4元電流）。