解析力学は、ニュートンの運動方程式 \[ m\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F} \] を一般座標・一般化力の枠組みに拡張し、 ラグランジュ形式・ハミルトン形式・正準変換・作用原理 を軸とする力学体系である。
拘束条件 \(f(q_1,\dots,q_n,t)=0\) をもつ系の微小変位 \(\delta \mathbf{r}_i\) が 拘束条件を破らずに許される変位を仮想変位と呼ぶ。
拘束力は仮想仕事をしない： \[ \sum_i \mathbf{F}_i^{(\text{非拘束})}\cdot\delta \mathbf{r}_i = 0. \]
運動方程式 \[ \mathbf{F}_i - m_i\ddot{\mathbf{r}}_i \] を仮想変位と内積した式： \[ \sum_i (\mathbf{F}_i - m_i\ddot{\mathbf{r}}_i)\cdot\delta\mathbf{r}_i = 0 \] が基本原理となる。
座標変換 \[ \mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i(q_1,\dots,q_n,t) \] により拘束を陽に取り込む。
ラグランジアン を \[ L(q_i,\dot{q}_i,t) = T - V \] とする。
作用積分 \[ S = \int L dt \] を停留させる条件 \[ \delta S = 0 \] から得られる Euler–Lagrange 方程式： \[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right) = \frac{\partial L}{\partial q_i}. \]
実際の運動は \[ \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q},t)\,dt = 0 \] を満たす経路である。
\[ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}. \]
\[ H(q,p,t) = \sum_i p_i\dot{q}_i - L. \]
\[ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i},\quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}. \]
粒子数 n の系の位相空間は \(2n\) 次元 \((q_i,p_i)\) であり、 力学の軌道はこの空間上の曲線となる。
2つの量 \(A(q,p),B(q,p)\) に対し \[ \{A,B\} = \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i} \right). \]
\[ \dot{A} = \{A,H\} + \frac{\partial A}{\partial t}. \]
\[ \{q_i,p_j\} = \delta_{ij},\quad \{q_i,q_j\}=0,\quad \{p_i,p_j\}=0. \]
\((q,p)\rightarrow (Q,P)\) が正準変換とは \[ \{Q_i,Q_j\}=0,\quad \{P_i,P_j\}=0,\quad \{Q_i,P_j\} = \delta_{ij} \] を満たす変換。
4種類の母関数 \(F_1(q,Q)\), \(F_2(q,P)\), \(F_3(p,Q)\), \(F_4(p,P)\)。 例えば \(F_2(q,P,t)\) の場合： \[ p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i},\quad Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i}. \]
正準変換の本質： \[ \sum_i p_i dq_i - H dt \quad\text{が変換後も変わらない。} \]
作用 \(S\) が連続変換に対して不変なら、 その対称性に対応した保存量が存在する。
位置 \(q_i = q_i^{(0)} + \eta_i\) として \[ L \approx \frac{1}{2}\sum_{ij} (M_{ij}\dot{\eta}_i\dot{\eta}_j - K_{ij}\eta_i\eta_j). \]
\[ \det|K - \omega^2 M| = 0 \] により固有振動数 \(\omega\) が求まる。
正準変数へ変換すると独立な調和振動子の和として記述される。
エネルギー一定の運動を幾何学的に扱う方法。
作用積分を \[ S = \int \sqrt{2m(E - V)}\, ds \] のように書き換え、 運動の軌道を「屈折率」の変化する空間の最短路（測地線）として表す。
運動量を \[ p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} \] と置くと、作用 \(S(q,t)\) は \[ H\left(q_i, \frac{\partial S}{\partial q_i}, t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \] を満たす。
完全解 \(S(q,\alpha,t)\) が得られれば、運動は積分形式で求まる。
シュレーディンガー方程式は ハミルトン–ヤコビ方程式の量子版とみなせる（WKB近似など）。
位相空間上の 2 形式 \[ \omega = \sum_i dq_i \wedge dp_i ] が不変であることが解析力学の本質的性質。
ハミルトン流は位相空間体積を保存： \[ \nabla\cdot\dot{\mathbf{z}} = 0, \quad \mathbf{z} = (q_1,\dots,p_1,\dots). \]
正準変換とは、シンプレクティック構造を保存する変換そのもの。