系の状態は複素関数 \(\psi(\mathbf{r},t)\) で表され、 \[ |\psi(\mathbf{r},t)|^2 d^3r \] が位置 \(\mathbf{r}\) 周辺に粒子が存在する確率。
\[ \int |\psi(\mathbf{r},t)|^2 d^3r = 1. \]
値が確定する物理量は演算子 \( \hat{A} \) の固有値問題 \[ \hat{A} \phi_a = a \phi_a \] によって決まる。
\[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi, \] ここで \[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \] はハミルトニアン。
\[ \hat{H}\phi_n = E_n \phi_n \] エネルギー固有値問題。 解 \(\phi_n\) は空間部分、時間依存は \[ \psi_n(\mathbf{r},t)=\phi_n(\mathbf{r}) e^{-iE_n t/\hbar}. \]
状態：\(|\psi\rangle\)、複素共役：\(\langle\psi|\)。 期待値： \[ \langle A \rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle. \]
位置 \(\hat{x}\) と運動量 \(\hat{p}\) は \[ [\hat{x},\hat{p}] = i\hbar. \]
\[ \Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}. \]
\[ \phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}, \quad E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}. \]
\(E<V_0\) でも指数関数的に透過する： \[ T \sim e^{-2\kappa a},\quad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}. \]
\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 \hat{x}^2. \]
\[ \hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left(\hat{x} + \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right), \quad \hat{a}^\dagger = (\hat{a})^\dagger. \]
\[ E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right). \]
\[ \phi_0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} e^{-m\omega x^2/(2\hbar)}. \]
\[ \hat{\mathbf{L}} = \mathbf{r}\times\hat{\mathbf{p}}, \quad [L_i, L_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}L_k. \]
\[ L^2|l m\rangle = \hbar^2 l(l+1)|lm\rangle, \quad L_z|lm\rangle = \hbar m|lm\rangle. \]
\[ \sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. \] スピン 1/2 の固有値は ±\(\hbar/2\)。
球座標で \[ \psi(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta,\phi). \]
\[ E_n = -\frac{m e^4}{2\hbar^2 n^2}. \]
非摂動ハミルトニアン \(\hat{H}_0\) の固有状態の基準で 1 次補正： \[ E_n^{(1)} = \langle n| \hat{H}' |n\rangle. \]
試行波動関数 \(\psi_\alpha\) に対して \[ E[\psi_\alpha] = \frac{\langle\psi_\alpha|\hat{H}|\psi_\alpha\rangle} {\langle\psi_\alpha|\psi_\alpha\rangle} \ge E_0. \]
1 次元で有効ポテンシャルの下で \[ \psi(x)\approx \frac{C}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left[\pm\frac{i}{\hbar}\int^x p(x')dx'\right], \quad p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}. \]
散乱振幅 \(f(\theta)\) を用いて \[ \frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2. \]
1 次ボルン近似では \[ f(\theta) = -\frac{2m}{4\pi\hbar^2} \int e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}} V(\mathbf{r}) d^3r, \quad \mathbf{q}=\mathbf{k}'-\mathbf{k}. \]
球対称散乱のとき、散乱振幅は \[ f(\theta)= \sum_{l=0}^\infty (2l+1) \frac{e^{2i\delta_l}-1}{2ik} P_l(\cos\theta). \]
量子力学の状態は複素ヒルベルト空間 \(\mathcal{H}\) のベクトルとして表される。
\[ \hat{A}^\dagger = \hat{A} \] を満たす演算子は実固有値をもち、測定量を表す。
固有状態 \(|n\rangle\) が完全系をなすとき \[ \psi = \sum_n |n\rangle\langle n|\psi\rangle. \]