流体とは、せん断応力が加わると静止できず、連続的に変形し続ける物質である。 気体・液体を含む。
流体を巨視的に「連続的な分布場」とみなし、物理法則を微分方程式で記述する。
質量保存則により、密度と速度は \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho \mathbf{v}) = 0. \]
\(\rho=\text{一定}\) の場合、 \[ \nabla\cdot\mathbf{v} = 0. \]
粘性が無視できる理想流体に対して、運動方程式は \[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} \right) = -\nabla p + \rho \mathbf{g}. \]
\((\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\) は慣性力を表し、流体力学を非線形にする最重要項。
定常・非粘性・非圧縮性流れに対して \[ \frac{1}{2}v^2 + \frac{p}{\rho} + gz = \text{一定} \] となる。
粘性を含む流体の基礎方程式： \[ \rho\left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g}. \]
\(\mu\nabla^2\mathbf{v}\) は流体内部の摩擦力を記述する。 倒立振り子の振動の減衰、流体中を落下する物体の抗力などにも関係する。
ニュートン流体では、速度勾配に比例: \[ \tau = \mu \frac{dv}{dy}. \]
半径 \(R\) の円管内の定常粘性流れは放物型分布： \[ v(r) = \frac{\Delta p}{4 \mu L}(R^2 - r^2). \]
流れの性質を決める無次元数： \[ \mathrm{Re} = \frac{\rho U L}{\mu}. \]
粘性流体は壁面付近でのみ大きな速度勾配が生じ、 そこを境界層と呼ぶ。
壁面：\(\mathbf{v}=0\)（no‐slip 条件） 外側：自由流速 \(U_\infty\)
\[ u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}. \]
圧力上昇域で壁面近くの流速が減速し、逆流が起きると剥離が発生。
\overrightarrow{\omega} = \nabla \times \overrightarrow{v}
非粘性・非圧縮・保存力の場合、 \[ \Gamma = \oint_C \mathbf{v}\cdot d\mathbf{r} \] は時間に依らず一定。
翼が発生する揚力： \[ L' = \rho U \Gamma. \]
\[ a = \sqrt{\gamma R T}. \]
\[ M = \frac{U}{a}. \]
高速流における非線形圧縮性効果により不連続面（ショック）が形成される。