点粒子の座標 \(x(t)\) の代わりに、空間に定義された場 \(\phi(x)\) を基本量とする。 作用は \[ S[\phi] = \int d^4x\, \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi) \] の形をとる。
変分原理 \(\delta S = 0\) から、場の運動方程式 \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} \right) = 0 \] が得られる。
実スカラー場のラグランジアン密度 \[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2\phi^2 \] から \[ (\Box + m^2)\phi = 0 \] （Klein–Gordon 方程式）が導かれる。
ラグランジアンが変換 \[ \phi \rightarrow \phi + \delta\phi \] で不変なら、保存流 \[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}} {\partial(\partial_\mu\phi)} \delta\phi \] が存在し、 \[ \partial_\mu j^\mu = 0. \]
変換 \(\phi \to e^{i\alpha}\phi\) は \[ j^\mu = i(\phi^\dagger\partial^\mu\phi - (\partial^\mu\phi^\dagger)\phi) \] を与え、電荷保存を表す。
場 \(\phi\) の共役運動量を \[ \pi(x) = \frac{\partial\mathcal{L}} {\partial(\partial_0\phi)} \] と定義する。
時刻 \(t\) における等時刻交換関係は \[ [\phi(\mathbf{x}),\,\pi(\mathbf{y})] = i \delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}), \] \[ [\phi(\mathbf{x}),\,\phi(\mathbf{y})] = 0, \quad [\pi(\mathbf{x}),\,\pi(\mathbf{y})] = 0. \]
Klein–Gordon 場は \[ \phi(x) = \int\!\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}} \left[ a_{\mathbf{p}} e^{-ipx} + a_{\mathbf{p}}^\dagger e^{ipx} \right] \] と展開される。 生成消滅演算子 \[ [a_{\mathbf{p}}, a_{\mathbf{q}}^\dagger] = (2\pi)^3 \delta^3(\mathbf{p}-\mathbf{q}) \] により Fock 空間が構成される。
スピノル場 \(\psi(x)\) は \[ (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0. \]
フェルミオンはパウリの排他律から反交換関係を満たす： \[ \{\psi_\alpha(\mathbf{x}),\, \psi_\beta^\dagger(\mathbf{y})\} = \delta_{\alpha\beta} \delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}). \]
\[ \psi(x) = \sum_s\int\!\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}} \Big[ b_{\mathbf{p}}^s u^s(\mathbf{p}) e^{-ipx} + d_{\mathbf{p}}^{s\dagger} v^s(\mathbf{p}) e^{ipx} \Big]. \]
Hamiltonian を \[ H = H_0 + H_{\mathrm{int}} \] に分け、演算子はハイゼンベルク方程式を 状態は時間発展 \[ i\frac{d}{dt}\,|\psi(t)\rangle_I = H_I(t) |\psi(t)\rangle_I \] に従う。
時間発展演算子は \[ U(t,t_0) = T \exp\left[ -i\int_{t_0}^{t} dt'\, H_I(t') \right], \] ここで \(T\) は時間順序積である。
相互作用を展開するとフェインマン図の摂動級数が得られる。
各理論に応じて
\[ \Delta_F(x-y) = \int\!\frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon} e^{-ip(x-y)}. \]
ディラック場では \[ S_F(x-y) = \int\!\frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i(\gamma^\mu p_\mu + m)} {p^2 - m^2 + i\epsilon} e^{-ip(x-y)}. \]
S 行列要素は場の時間順序相関関数により \[ \langle p_1',\dots | S | p_1,\dots \rangle \propto \int d^4x_1\dots (\Box+m^2)\langle 0|T\phi(x_1)\cdots|0\rangle \] と表される。
散乱断面積は \[ d\sigma = \frac{1}{\text{flux}} | \mathcal{M} |^2 d\Pi_{\mathrm{final}} \] により計算される（\(\mathcal{M}\)：振幅）。
\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4. \]
フェインマン図では 4 本線が \[ -i\lambda \] を持つ。
1 ループで質量・結合定数に発散が現れ、繰り込みの必要性が現れる。
\(\psi \to e^{i\alpha(x)}\psi\) を局所対称性とするとき、 その不変性を保つためにゲージ場 \(A_\mu\) が導入される。
\[ \mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, \] \[ D_\mu = \partial_\mu + ieA_\mu. \]
典型的には次を用いる：
裸の量（\(m_0,\lambda_0\)）と観測量（\(m,\lambda\)）の間には \[ m_0 = Z_m m, \qquad \lambda_0 = Z_\lambda \lambda, \] のような関係が必要となる。
結合定数のスケール依存性は \[ \beta(\lambda) = \mu\frac{d\lambda}{d\mu} \] で特徴づけられる。 QED では結合が高エネルギーで強くなる（Landau pole）。
生成子 \(T^a\) により \[ \psi \to e^{i\alpha^a(x)T^a}\psi. \]
非可換性のため \[ F^a_{\mu\nu} = \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu + gf^{abc} A^b_\mu A^c_\nu. \]
\[ \mathcal{L}_{\mathrm{YM}} = -\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}. \]