量子力学 II では、量子力学 I で学んだ 「定常状態・時間に依らないシュレーディンガー方程式」を基礎として、 以下のような発展的トピックを扱う：
状態ベクトル \(|\psi_S(t)\rangle\) が時間発展し、演算子は原則時間に依存しない： \[ i\hbar \frac{d}{dt}|\psi_S(t)\rangle = \hat{H} |\psi_S(t)\rangle. \]
状態を固定し、演算子に時間依存を持たせる： \[ |\psi_H\rangle = |\psi_S(0)\rangle, \quad \hat{A}_H(t) = e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{A}_S e^{-i\hat{H}t/\hbar}. \] 運動方程式： \[ i\hbar \frac{d\hat{A}_H}{dt} = [\hat{A}_H,\hat{H}] + i\hbar\left(\frac{\partial \hat{A}_H}{\partial t}\right)_{\text{exp}}. \]
ハミルトニアンを \[ \hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}_I(t) \] と分け、自由部分 \(\hat{H}_0\) での時間発展と摂動 \(\hat{H}_I\) を分離： \[ |\psi_I(t)\rangle = e^{i\hat{H}_0 t/\hbar}|\psi_S(t)\rangle. \] 相互作用描像の状態は \[ i\hbar\frac{d}{dt}|\psi_I(t)\rangle = \hat{H}_I(t)|\psi_I(t)\rangle \] に従う。
相互作用描像の状態 \(|\psi_I(t)\rangle\) は \[ i\hbar\frac{d}{dt}|\psi_I(t)\rangle = \hat{H}_I(t)|\psi_I(t)\rangle. \] これを形式積分すると \[ |\psi_I(t)\rangle = |\psi_I(t_0)\rangle - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \hat{H}_I(t_1) |\psi_I(t_1)\rangle dt_1. \]
\(|\psi_I(t)\rangle\) に \(\hat{H}_I\) を一次の精度まで考えると、 初期状態を固有状態 \(|n\rangle\) として \[ c_m^{(1)}(t) = -\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t dt'\, e^{i\omega_{mn} t'} \langle m|\hat{H}_I(t')|n\rangle, \quad \omega_{mn}=\frac{E_m-E_n}{\hbar}. \] 遷移確率は \[ P_{n\to m}(t) \approx |c_m^{(1)}(t)|^2. \]
時間に依らない摂動 \(\hat{H}'\)、連続準位をもつ系で長時間極限をとると \[ w_{n\to m} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle m|\hat{H}'|n\rangle|^2 \rho(E_m), \] \(\rho(E_m)\) はエネルギー \(E_m\) の状態密度。 これが遷移確率の「黄金律」。
基底 \(|1\rangle\)、励起 \(|2\rangle\) の 2 準位を持つ系に、時間依存摂動（外場）を加えたモデル： \[ \hat{H}(t) = \begin{pmatrix} E_1 & V(t) \\ V^*(t) & E_2 \end{pmatrix}. \]
外場の周波数を \(\omega\) とし、 エネルギー差 \(\hbar\omega_0 = E_2-E_1\) に近いとき共鳴が起こる。 有効結合の強さから Rabi 周波数 \(\Omega_R\) が定まり、 遷移確率は \[ P_{1\to 2}(t) = \frac{\Omega_R^2}{\Omega^2} \sin^2\left(\frac{\Omega t}{2}\right), \] \(\Omega\) は有効な振動数（共鳴からのずれを含む）。
二準位系と Rabi 振動はレーザーと原子の相互作用、NMR・スピン制御などの基礎となる。
純粋状態：\(|\psi\rangle\) で完全に記述できる。 混合状態：\(|\psi_i\rangle\) が確率 \(p_i\) で存在する統計的混合。
\[ \hat{\rho} = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|. \] 純粋状態では \(\hat{\rho} = |\psi\rangle\langle\psi|\)。
任意の演算子 \(\hat{A}\) の期待値は \[ \langle A\rangle = \mathrm{Tr}(\hat{\rho}\hat{A}). \]
閉じた系の密度行列の時間発展： \[ i\hbar\frac{d\hat{\rho}}{dt} = [\hat{H},\hat{\rho}]. \]
2 粒子状態 \(|\psi(1,2)\rangle\) に対し、粒子入れ替え演算子 \(\hat{P}_{12}\) を考えると、 \[ \hat{P}_{12}|\psi(1,2)\rangle = \pm|\psi(1,2)\rangle. \] 「+」はボース粒子、「−」はフェルミ粒子。
一般に \[ |\psi_\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|\phi_a(1)\phi_b(2)\rangle \pm |\phi_b(1)\phi_a(2)\rangle \right). \]
N 個のフェルミ粒子の波動関数： \[ \Psi(\mathbf{r}_1,\dots,\mathbf{r}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \det[\phi_i(\mathbf{r}_j)]. \] ここから Pauli の排他原理が自然に出てくる。
2 つの角運動量 \(\mathbf{J}_1,\mathbf{J}_2\) の合成： \[ \mathbf{J} = \mathbf{J}_1 + \mathbf{J}_2 \] に対し、量子数は \[ j = |j_1-j_2|, |j_1-j_2|+1, \dots, j_1+j_2. \]
未結合基底 \(|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle\) と 結合基底 \(|j m\rangle\) の関係： \[ |j m\rangle = \sum_{m_1,m_2} C^{j m}_{j_1 m_1\, j_2 m_2} |j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle. \] 係数 \(C^{j m}_{j_1 m_1\, j_2 m_2}\) が Clebsch–Gordan 係数。
散乱状態 \(|\psi^{(+)}\rangle\) は \[ |\psi^{(+)}\rangle = |\phi\rangle + \frac{1}{E - \hat{H}_0 + i0} \hat{V}|\psi^{(+)}\rangle, \] ここで \(|\phi\rangle\) は入射自由状態。
T 行列を \[ \hat{T}(E) = \hat{V} + \hat{V}\frac{1}{E-\hat{H}_0+i0}\hat{T}(E) \] と定義すると、 散乱振幅は \[ f(\theta) = -\frac{2\pi^2 m}{\hbar^2} \langle\mathbf{k}'|\hat{T}(E)|\mathbf{k}\rangle. \]
球対称ポテンシャルでは、 \[ f(\theta) = \sum_{l=0}^\infty (2l+1)\frac{e^{2i\delta_l}-1}{2ik} P_l(\cos\theta). \] \(\delta_l\) を位相シフトと呼び、ポテンシャルの情報を含む。
ハミルトニアン \(\hat{H}(t)\) が非常にゆっくり（断熱的）に変化するとき、 最初に固有状態 \(|n(0)\rangle\) にいた系は、 常に対応する瞬間固有状態 \(|n(t)\rangle\) に保たれる。
パラメータ空間を一周して元に戻るとき、 波動関数には力学的位相に加えて幾何学的位相が付与される： \[ \gamma_n = i\oint \langle n(\mathbf{R})| \nabla_{\mathbf{R}} n(\mathbf{R})\rangle \cdot d\mathbf{R}. \] これは Berry 位相と呼ばれ、 Aharonov–Bohm 効果や固体物理のトポロジカル現象とも深く関係する。
場の消滅演算子・生成演算子 \(\hat{\psi}(\mathbf{r}), \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\) を導入し、 ボース粒子では \[ [\hat{\psi}(\mathbf{r}),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}')] = \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), \] フェルミ粒子では \[ \{\hat{\psi}(\mathbf{r}),\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}')\} = \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \] と反交換関係を満たす。
例えばボース気体のハミルトニアン： \[ \hat{H} = \int d^3r\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}) \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{r}) \right) \hat{\psi}(\mathbf{r}) + \frac{1}{2}\int d^3r\,d^3r'\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}) \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}') U(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \hat{\psi}(\mathbf{r}') \hat{\psi}(\mathbf{r}). \]
粒子数 0,1,2,... を含む直和空間が Fock 空間であり、 生成消滅演算子が粒子数を操作する。