ナノサイエンスは、おおよそ 1～100 nm スケールの構造・物質において、 量子効果・表面効果 が支配的となる領域の科学である。
低次元化によりエネルギー準位の離散化や、密度状態の次元依存性など、 バルク固体では見られない新しい物性が現れる。
電子の運動自由度が
1 次元箱型ポテンシャルの固有値： \[ E_n = \frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2m^* L^2}, \] ここで \(m^*\) は有効質量、\(L\) は閉じ込め長さ。 \(L\) がナノメートルスケールに小さくなると、\(E_n\) が eV オーダーまで大きくなり、 電子構造がサイズに大きく依存する（量子サイズ効果）。
自由電子近似でのエネルギー密度状態 \(g(E)\) は、空間次元 \(d\) によって特徴的な振る舞いを示す。
\[ g_{3D}(E) \propto \sqrt{E}. \] バルク金属・半導体での典型的な DOS。
\[ g_{2D}(E) = \text{const.} \] サブバンドごとにステップ状に増加する（量子井戸・グラフェンなど）。
\[ g_{1D}(E) \propto \frac{1}{\sqrt{E - E_n}}, \] 各サブバンドの立ち上がりで発散する「バンホーフ特異性」が現れる。
\[ g_{0D}(E) = \sum_n \delta(E - E_n), \] 完全に離散的な準位構造 → 「人工原子」と呼ばれるゆえん。
半導体ヘテロ構造（例：GaAs/AlGaAs）で、 バンドギャップや電子親和力の差を利用してポテンシャル井戸を形成する。
1 次元閉じ込め： \(z\) 方向の運動は量子化され、 \[ E_{n}(k_x, k_y) = E_n^{(z)} + \frac{\hbar^2}{2m^*}(k_x^2 + k_y^2). \]
2 方向（例：\(x,y\)）をナノスケールで閉じ込めた構造。 準 1 次元電子系として、サブバンド構造と 1D DOS 特性を示す。
球形量子ドットを、半径 \(R\)、有効質量 \(m^*\) の箱型ポテンシャルで近似すると、 エネルギー準位は \[ E_{nl} \sim \frac{\hbar^2\alpha_{nl}^2}{2m^* R^2}, \] ここで \(\alpha_{nl}\) は球 Bessel 関数の零点。 \(R\) を小さくすると準位間隔が大きくなり、「原子状」のスペクトルが現れる。
量子ドットの発光エネルギー（例：コロイド量子ドット）はサイズで制御できる： \[ E_{\text{emission}}(R) \approx E_g^{\text{bulk}} + \frac{\hbar^2\pi^2}{2R^2} \left(\frac{1}{m_e^*} + \frac{1}{m_h^*}\right) - \frac{1.8 e^2}{4\pi\varepsilon R} + \cdots \] （粒子-in-a-sphere モデル + クーロン相互作用）。
ナノスケールの薄い障壁を挟んだ構造では、電子は波動として障壁を透過（トンネル）できる。
二つの障壁と井戸（量子井戸）から成る構造で、 井戸の準位 \(E_n\) が電極のフェルミ準位と整合したとき、共鳴的にトンネル透過が増大。 → 負性抵抗 を示す I–V 特性。
ナノスケールドットに電子を 1 個追加するエネルギー \[ E_C = \frac{e^2}{2C} \] が熱エネルギーより大きいと、 電子数が整数に量子化され、 低温・低バイアスで電流が流れにくくなる（クーロンブロッケード）。 バイアスを変えると 1 電子ずつ電流が流れる「クーロン振動」が観測される。
バルク（金属）の Drude モデルでは \[ \sigma = ne^2\tau / m \] のような散乱時間 \(\tau\) に依存する表式だが、 ナノスケールの 1D チャネルでは「チャネルごとの伝導量子」が重要になる。
1D チャネルのコンダクタンスは透過確率 \(T\) を用いて \[ G = \frac{2e^2}{h} T. \] 完全伝導 (\(T=1\)) 時に \[ G_0 = \frac{2e^2}{h} \] という伝導量子が現れ、量子細線ではステップ状のコンダクタンス（量子化コンダクタンス）が観測される。
グラフェンの低エネルギー励起は、 有効的に質量ゼロのディラック電子として \[ E(\mathbf{k}) = \pm \hbar v_F |\mathbf{k}| \] に従う（円錐状のバンド：ディラックコーン）。
強磁場下の 2D 電子系でホールコンダクタンスが \[ \sigma_{xy} = \nu \frac{e^2}{h} \] と量子化される。ここで \(\nu\) は整数または分数（整数／分数量子ホール効果）。 \(\nu\) はトポロジカル不変量（チェルン数）として理解される。
量子ドットに閉じ込められた単一電子スピンを \(|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle\) の 2 準位系として量子ビットに利用する。
隣接ドット間のトンネル結合・スピン交換を制御し、 2 量子ビットのエンタングルメントを生成する。
核スピン、電荷雑音、スピン軌道相互作用などがコヒーレンスを破壊するため、 材料工学・デバイス設計が重要となる。